Để chứng minh rằng \( d \parallel BC \) và \( d \perp AH \) trong hình vẽ đã cho, ta thực hiện như sau:

**Chứng minh \( d \parallel BC \):**

1. Trong tam giác \( ABH \) và \( ACH \), chúng ta có:
- Góc \( ABH = 90^\circ \)
- Góc \( AHB = 50^\circ \)
- Mặt khác, tổng của ba góc trong một tam giác là \( 180^\circ \), nên góc \( ACB = 180^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \).

2. Nhìn vào tam giác \( ACH \):
- Ta có góc \( AHC = 50^\circ \)
- Vậy góc \( ACB = 40^\circ \)

3. Khi bên ngoài góc \( ACB \) và góc \( AHA \) với \( d \) là góc đồng vị. Do đó, theo định lý các góc đồng vị, suy ra \( d \parallel BC \).

**Chứng minh \( d \perp AH \):**

1. Ta đã có góc \( ABH = 90^\circ \).

2. Vì \( H \) nằm trên đường thẳng \( d \) và đường thẳng \( AH \) vuông góc với \( BH \) (góc \( ABH = 90^\circ \)), điều này có nghĩa rằng \( AH \) vuông góc với \( d \) tại điểm \( H \).

Từ đó, ta đã chứng minh được các khẳng định:
- \( d \parallel BC \)
- \( d \perp AH \)

Kết luận: \( d \parallel BC \) và \( d \perp AH \) là đúng như đề bài yêu cầu.