Để chứng minh rằng số cuối cùng luôn là số chính phương, ta sẽ phân tích từng bước trong quy trình được đề cập.

Giả sử An nghĩ ra một số nguyên dương bất kỳ \(n\). Bước đầu tiên là thêm số \(5\) vào bên phải của \(n\), ta được:

\[
m = 10n + 5
\]

Sau đó, bình phương của \(m\) sẽ là:

\[
m^2 = (10n + 5)^2 = 100n^2 + 100n + 25
\]

Tiếp theo, ta loại đi số \(25\):

\[
m^2 - 25 = 100n^2 + 100n + 25 - 25 = 100n^2 + 100n
\]

Sau đó, ta nhân kết quả này với \(4\):

\[
4(m^2 - 25) = 4(100n^2 + 100n) = 400n^2 + 400n
\]

Cuối cùng, ta cộng \(1\):

\[
4(m^2 - 25) + 1 = 400n^2 + 400n + 1
\]

Bây giờ ta sẽ kiểm tra xem biểu thức \(400n^2 + 400n + 1\) có phải là một số chính phương hay không. Ta có thể viết lại như sau:

\[
400n^2 + 400n + 1 = (20n + 1)^2
\]

Để giải thích:

\[
(20n + 1)^2 = (20n)^2 + 2 \cdot 20n \cdot 1 + 1^2 = 400n^2 + 40n + 1
\]

Như vậy, \(400n^2 + 400n + 1\) có thể viết được dưới dạng chính phương, cụ thể là:

\[
(20n + 1)^2
\]

Do đó, ta thấy rằng với mọi số nguyên dương \(n\), kết quả cuối cùng \(400n^2 + 400n + 1\) luôn là một số chính phương.

Vậy cho mọi số nguyên dương \(n\) mà An chọn, số cuối cùng mà An tính toán sẽ luôn là một số chính phương.