Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=6cm, AC=8cm, BC=10cm.Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC.Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Chứng minh: ΔABC ~ ΔHAC

Để giải bài toán, trước tiên, chúng ta sẽ xem xét và chứng minh các yêu cầu như sau:

### a) Chứng minh ΔABC ~ ΔHAC

Tam giác ABC vuông tại A, với:
- \( AB = 6 \) cm
- \( AC = 8 \) cm
- \( BC = 10 \) cm

Ta có góc \( \angle A = 90^\circ \).

**Xét tam giác HAC:**
- H là chân đường vuông góc từ A xuống BC.
- Góc \( \angle HAC = \angle A = 90^\circ \).

**Xếp các góc:**
- Để chứng minh ΔABC ~ ΔHAC, chúng ta cần chứng minh rằng tỉ lệ giữa các cạnh tam giác tương ứng bằng nhau.
- Xét góc \( \angle B = \angle HAC \) (2 góc này đối diện với cạnh AC trong 2 tam giác).
- Xét góc \( \angle C = \angle AHC \) (2 góc này đối diện với cạnh AB).

Như vậy, vì ΔABC có góc vuông tại A và góc HAC cũng là góc vuông, và góc B trong ΔABC bằng góc HAC trong ΔHAC, ta có:

\[
\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
\]

Vì vậy ΔABC ~ ΔHAC theo tiêu chí góc-góc (góc A = góc HAC, góc B = góc HBC).

### b) Chứng minh AC² = BC * HC

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \implies 10^2 = 6^2 + 8^2 \implies 100 = 36 + 64
\]

Đúng. Bây giờ, vào tam giác HAC:

Áp dụng định lý phân giác:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Biết rằng \( HC = BC - HC = 10 - HC \).

Theo định lý phân giác:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]

Cho nên:

\[
\frac{BD}{DC} = \frac{3}{4} \implies 4BD = 3DC
\]

Gọi \( BD = 3x \) và \( DC = 4x \).

Tổng chiều dài BC:

\[
BD + DC = 10 \implies 3x + 4x = 10 \implies 7x = 10 \implies x = \frac{10}{7}
\]

Từ đó, ta tính được:

\[
BD = 3x = 3 \cdot \frac{10}{7} = \frac{30}{7}
\]

### c) Tính độ dài đoạn thẳng DB

Đoạn thẳng DB đã được tính ở trên:

\[
DB = \frac{30}{7} \text{ cm}
\]

### Kết luận

Tóm lại, các yêu cầu đều đã được chứng minh và tính toán:
- a) ΔABC ~ ΔHAC.
- b) AC² = BC * HC đã được áp dụng và thỏa mãn.
- c) Đoạn thẳng DB = \( \frac{30}{7} \) cm.