Để chứng minh rằng \( BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB \cdot AC \) trong tam giác \( \triangle ABC \) với \( \angle A = 60^\circ \), ta sẽ sử dụng định lý cosin.

**Định lý cosin** phát biểu rằng:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C
\]

Trong đó:
- \( c \) là độ dài cạnh đối diện với góc \( C \).
- \( a \) và \( b \) là độ dài hai cạnh còn lại.
- \( C \) là góc giữa hai cạnh \( a \) và \( b \).

Áp dụng định lý cosin vào tam giác \( \triangle ABC \):

- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( BC = a \), và \( \angle A = 60^\circ \).
- Vậy ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60^\circ)
\]

Với \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \frac{1}{2}
\]

Rút gọn biểu thức này, ta có:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB \cdot AC
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - AB \cdot AC
\]

Kết luận: Điều phải chứng minh đã được xác nhận.