Để chứng minh hai phần a và b, ta cần sử dụng các đặc điểm của tam giác vuông và các tính chất của tia phân giác và đường trung trực.

### a. Chứng minh tam giác ABE = tam giác HBE

Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A, tức là góc A = 90 độ.
- Tia phân giác góc B cắt AC tại E, theo định nghĩa, suy ra \( \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \).
- EH vuông góc với BC tại H, suy ra góc AHB = 90 độ.

Giờ, ta sẽ đánh giá các yếu tố sau:

1. Góc ABE = góc HBE (chúng đồng hướng, đều cùng là góc tại B).
2. AE = BE (do E là điểm phân giác nên AE/EC = AB/BC).
3. Góc ABE và góc HBE đều bằng góc B (hơn nữa, góc ABE = góc HBA = 90 độ).

Từ đó, ta có hai tam giác ABE và HBE có hai góc và một cạnh chung (BE). Do đó, ta có thể sử dụng tiêu chuẩn góc-góc-cạnh (góc-góc-cạnh) để khẳng định các tam giác này bằng nhau:

\[
\triangle ABE \cong \triangle HBE
\]

### b. Chứng minh BE là đường trung trực của đoạn AH

Chứng minh rằng BE là đường trung trực của đoạn AH, chúng ta cần chứng minh rằng \( AH = BH \) và BE vuông góc với AH.

- Ta biết rằng từ E kẻ EH vuông góc với BC.
- Do H là hình chiếu của E lên BC, chúng ta có được rằng AH (từ A đến H) vuông góc với BC, vì vậy BE tượng trưng một mặt phẳng chia đều đoạn AH.

Yếu tố quyết định để chứng minh BE là đường trung trực của đoạn AH:
- BE bisect AH. Nếu hai tam giác ABE và HBE bằng nhau theo chứng minh trên, chúng ta có \( AE = HE \).

Khi đó, theo định nghĩa, BE là đường trung trực của đoạn AH, porque nó không chỉ phân chia đoạn AH mà phân tách chúng thành hai đoạn (AE, HE) bằng nhau.

Từ đó, chúng ta cũng có thể kết luận rằng:

\[
BE \perp AH
\]

### Kết luận:
Chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác ABE bằng tam giác HBE và BE là đường trung trực của đoạn AH.