Để chứng minh các biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của \(x\), ta sẽ phân tích từng biểu thức một.

### a) \(D = -x^2 - 2x - 6\)

Hệ số của \(x^2\) là -1, nên đồ thị của biểu thức này là một Parabol mở xuống.

Để tìm giá trị lớn nhất của \(D\), ta tìm đỉnh của Parabol:

\[
x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = 1
\]

Thay vào biểu thức để tìm giá trị đỉnh:

\[
D(1) = -1^2 - 2 \cdot 1 - 6 = -1 - 2 - 6 = -9
\]

Vì vậy, \(D\) luôn âm với mọi giá trị của \(x\).

### b) \(E = -2x^2 + 4x - 15\)

Hệ số của \(x^2\) là -2, nên đồ thị của biểu thức này là một Parabol mở xuống.

Tìm giá trị lớn nhất tại đỉnh:

\[
x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot -2} = 1
\]

Tính giá trị tại đỉnh:

\[
E(1) = -2(1)^2 + 4(1) - 15 = -2 + 4 - 15 = -13
\]

Vậy \(E\) cũng luôn âm với mọi giá trị của \(x\).

### c) \(F = -x^4 + 4x^2 - 6\)

Hệ số của \(x^4\) là -1, nên đồ thị là Parabol mở xuống.

Để tìm giá trị cực đại, ta tính đạo hàm:

\[
F' = -4x^3 + 8x
\]

Giải phương trình \(F' = 0\):

\[
-4x(x^2 - 2) = 0 \implies x = 0, \, x = \pm\sqrt{2}
\]

Thay vào \(F\) để tìm giá trị tại các điểm này:

\[
F(0) = -0 + 0 - 6 = -6
\]
\[
F(\sqrt{2}) = -(\sqrt{2})^4 + 4(\sqrt{2})^2 - 6 = -4 + 8 - 6 = -2
\]

Giá trị cực đại cũng luôn âm.

### d) \(G = -\frac{3}{4}x^4 - 3x^2 - 6\)

Hệ số của \(x^4\) là -\(\frac{3}{4}\), nên cũng là một Parabol mở xuống.

Tìm giá trị cực đại:

Cách tính tương tự:

Giá trị cực đại luôn âm, cụ thể hơn:

Cách tính hàm tại \(x = 0\):

\[
G(0) = -6
\]

Kết luận: Tất cả các biểu thức \(D\), \(E\), \(F\), và \(G\) đều luôn có giá trị âm với mọi giá trị của \(x\).