Để tính độ dài đường cao \( CH \) trong tam giác \( ABC \) với \( AB = 6 \, \text{cm} \), \( \angle A = 15^\circ \) và \( \angle B = 35^\circ \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính góc C**:
\[
\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B = 180^\circ - 15^\circ - 35^\circ = 130^\circ
\]

2. **Sử dụng định lý sin để tính cạnh \( AC \)**:
\[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}
\]
\[
AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 130^\circ}
\]
Với \( \sin 130^\circ = \sin 50^\circ \):
\[
AC = \frac{6 \cdot \sin 35^\circ}{\sin 50^\circ}
\]

3. **Tính cạnh \( BC \)**:
\[
\frac{BC}{\sin A} = \frac{AB}{\sin C}
\]
\[
BC = \frac{AB \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 130^\circ}
\]
\[
BC = \frac{6 \cdot \sin 15^\circ}{\sin 50^\circ}
\]

4. **Tính độ dài đường cao \( CH \)**:
Sử dụng công thức:
\[
CH = \frac{AB \cdot \sin C}{AC}
\]
Nhưng một cách đơn giản hơn, ta có thể sử dụng công thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin C
\]
và diện tích cũng có thể được tính từ:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h
\]
với \( h \) là chiều cao. Do đó, từ đây ta có:
\[
h = \frac{2S}{AB}
\]

Kết hợp các công thức trên sẽ cho phép bạn tính được độ dài của đường cao \( CH \). Bạn có thể sử dụng máy tính khoa học để tính toán giá trị cụ thể cho \( AC \), \( BC \) và sau đó tính \( h \).