Để tính các giá trị lượng giác của các góc \(\alpha\) theo từng trường hợp trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần như sau:

### a) \(\sin \alpha = -\frac{1}{3}\) và \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\)

Trong khoảng này, \(\sin \alpha < 0\) cho nên \(\alpha\) nằm ở góc phần tư IV. Dựa vào định nghĩa lượng giác, ta có:

\[
\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}
\]
=>
\[
\cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \quad \text{(vì \(\alpha\) ở IV nên \(\cos \alpha < 0\))}
\]
Tính \(\tan \alpha\):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\frac{1}{3}}{-\frac{2\sqrt{2}}{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}
\]

### b) \(\cos \alpha = -0.7\) và \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)

Trong khoảng này, \(\cos \alpha < 0\) và \(\sin \alpha < 0\).

Tính \(\sin \alpha\):
\[
\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (-0.7)^2 = 1 - 0.49 = 0.51
\]
=>
\[
\sin \alpha = -\sqrt{0.51} \quad \text{(vì \(\alpha\) ở III nên \(\sin \alpha < 0\))}
\]

Tính \(\tan \alpha\):
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{-\sqrt{0.51}}{-0.7} = \frac{\sqrt{0.51}}{0.7}
\]

### c) \(\tan \alpha = 2\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\)

Trong khoảng này, \(\tan \alpha > 0\) cho nên \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) đều dương.

Giả sử \(\sin \alpha = 2\cos \alpha\) (theo định nghĩa tan), ta có:
\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow (2\cos \alpha)^2 + \cos^2 \alpha = 1
\]
=>
\[
4\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow 5\cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}
\]
=>
\[
\sin \alpha = 2\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

### d) \(\cot \alpha = \frac{7}{3}\) và \(\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}\)

Dựa vào định nghĩa \(\cot \alpha\):
\[
\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha} = \frac{3}{7}
\]

Tính \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\):
Giả sử \(\sin \alpha = 3k\) và \(\cos \alpha = 7k\) cho một số \(k\),
\[
(3k)^2 + (7k)^2 = 1 \Rightarrow 9k^2 + 49k^2 = 1 \Rightarrow 58k^2 = 1 \Rightarrow k^2 = \frac{1}{58} \Rightarrow k = \frac{1}{\sqrt{58}}
\]
=>
\[
\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{58}}, \quad \cos \alpha = \frac{7}{\sqrt{58}} \quad \text{(nhưng ở III thì \(\sin < 0\), \(\cos < 0\))}
\]
=>
\[
\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{58}}, \quad \cos \alpha = -\frac{7}{\sqrt{58}}
\]

Tóm lại, các giá trị lượng giác của từng góc là:

- a) \(\sin \alpha = -\frac{1}{3}, \cos \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}, \tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{4}\)
- b) \(\sin \alpha = -\sqrt{0.51}, \cos \alpha = -0.7, \tan \alpha = \frac{\sqrt{0.51}}{0.7}\)
- c) \(\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}, \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}\)
- d) \(\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{58}}, \cos \alpha = -\frac{7}{\sqrt{58}}, \tan \alpha = \frac{3}{7}\)