Để giải phương trình

\[
2x^2 + 6x + 3 + \sqrt{x^2 + 3x + 2} = 0,
\]

ta bắt đầu bằng cách đặt \( y = \sqrt{x^2 + 3x + 2} \). Như vậy, ta có:

\[
y^2 = x^2 + 3x + 2.
\]

Thay \( y \) vào phương trình ban đầu, chúng ta có:

\[
2x^2 + 6x + 3 + y = 0.
\]

Từ công thức \( y^2 = x^2 + 3x + 2 \), ta có thể biểu diễn \( x^2 + 3x \) dưới dạng \( y^2 - 2 \):

\[
2x^2 + 6x + 3 + y = 0 \implies 2(y^2 - 2) + 3 + y = 0 \implies 2y^2 + y - 1 = 0.
\]

Bây giờ, ta sẽ giải phương trình bậc hai \( 2y^2 + y - 1 = 0 \) bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}.
\]

Tính các giá trị của \( y \):

1. \( y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
2. \( y = \frac{-4}{4} = -1 \)

Với \( y = -1 \), không thể xảy ra vì \( y \) là căn bậc hai. Vậy chỉ có \( y = \frac{1}{2} \).

Bây giờ, thay lại vào định nghĩa của \( y \):

\[
\sqrt{x^2 + 3x + 2} = \frac{1}{2}.
\]

Bình phương hai vế:

\[
x^2 + 3x + 2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \implies x^2 + 3x + 2 = \frac{1}{4}.
\]

Làm rõ phương trình:

\[
x^2 + 3x + 2 - \frac{1}{4} = 0 \implies 4x^2 + 12x + 8 - 1 = 0 \implies 4x^2 + 12x + 7 = 0.
\]

Giải phương trình bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7}}{2 \cdot 4} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 112}}{8} = \frac{-12 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-3 \pm \sqrt{2}}{2}.
\]

Do đó, nghiệm của phương trình là:

\[
x_1 = \frac{-3 + \sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{2}}{2}.
\]

Đó là các nghiệm của phương trình đã cho.