Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác ABC với các điểm D, E, F như đã cho, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần.

### Đầu tiên, tóm tắt lại các thông tin đã cho:
- D là trung điểm của AB.
- DE // BC (E thuộc AC).
- EF // AB (F thuộc BC).

### Chứng minh các phần:

#### a) Chứng minh AD = DF
Bởi vì D là trung điểm của AB, ta có:
\[
AD = DB
\]
Do DE // BC, theo định lý Thales trong tam giác ACD, ta có:
\[
\frac{AD}{DE} = \frac{DB}{EC}
\]
Và DE // AB dẫn đến EF cũng là một đoạn thẳng song song với AB. Theo định lý Thales trong tam giác BDF, ta có:
\[
\frac{DF}{AB} = \frac{BF}{BC}
\]
Khi đó, nhận thấy rằng DE là đoạn thẳng lấy một tỷ lệ bằng 1/2 so với đoạn BC, nên có:
\[
AD = \frac{1}{2}BC
\]
Cũng tương tự, đoạn DF cũng phải đạt điều kiện đó, từ đó ta có kết luận rằng:
\[
AD = DF
\]

#### b) Chứng minh AE = EC
Bởi vì DE // BC, từ định lý Thales trong tam giác ACD:
\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DB} = 1
\]
Vì AD = DB (do D là trung điểm), suy ra AE = EC.

#### c) Chứng minh BF = FC
Bởi vì EF // AB, từ định lý Thales trong tam giác BCF:
\[
\frac{BF}{FC} = \frac{DB}{AD} = 1
\]
Vì DB = AD (do D là trung điểm), suy ra BF = FC.

#### d) Chứng minh DE = 1/2.BC
Bởi vì DE // BC và D là trung điểm của AB, với các đoạn AE và EC bằng nhau, theo định lý Thales trong tam giác ACD và BCD, ta có:
\[
\frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{1/2}{1} = \frac{1}{2}
\]
Từ đó:
\[
DE = \frac{1}{2}BC
\]

### Kết luận
Từ các phần chứng minh ở trên, chúng ta đã xác nhận được:
- \( AD = DF \)
- \( AE = EC \)
- \( BF = FC \)
- \( DE = \frac{1}{2} BC \)

Vậy các đẳng thức trong bài toán đã được chứng minh.