Để phân tích đa thức \(x^8 + x^7 + 1\) thành nhân tử, ta sẽ tìm các phương pháp phân tích thường dùng.

Trước tiên, ta thử tìm nghiệm của đa thức này. Để giải nhanh, ta có thể áp dụng định lý các nghiệm đơn giản hoặc tìm nghiệm bằng cách thử với các giá trị nhỏ của \(x\).

Ta thử giá trị \(x = 1\):
\[
f(1) = 1^8 + 1^7 + 1 = 3 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Thử giá trị \(x = -1\):
\[
f(-1) = (-1)^8 + (-1)^7 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1 \quad \text{(không phải nghiệm)}
\]

Tiếp theo, ta thử với một số giá trị khác như \(x = \omega\) (là nghiệm nguyên thủy của \(1\)), nhưng điều này có thể phức tạp.

Thay vào đó, ta có thể sử dụng một biến thể khác để phân tích. Ta nhận thấy rằng:
\[
x^8 + x^7 + 1 = \frac{x^9 - 1}{x - 1} \quad \text{(vì đây là tổng của một chuỗi geometic)}
\]

Tóm lại, ta có thể ghi lại rằng:
\[
x^8 + x^7 + 1 = \frac{x^9 - 1}{x - 1}
\]

Để phân tích hoàn toàn \(x^9 - 1\), ta biết rằng \(x^9 - 1\) có thể phân tích thành \( (x - 1)(x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) \).

Như vậy, ta thấy rằng đa thức không thể phân tích thành nhân tử dưới dạng đơn giản hơn trong các số nguyên.

Cuối cùng:
\[
x^8 + x^7 + 1 \text{ không có nghiệm thực và không có phương pháp phân tích đơn giản.}
\]

Điều này có nghĩa là \(x^8 + x^7 + 1\) là một đa thức nguyên tối giản và không thể phân tích thành nhân tử được với các hệ số từ các số nguyên đơn giản hơn.