Rút gọn:

Để rút gọn biểu thức \( \sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} - \sqrt{2} \), chúng ta sẽ xử lý từng phần:

1. **Rút gọn \( \sqrt{4 + \sqrt{7}} \)**:
Ta có thể suy nghĩ đến việc biểu diễn \( 4 + \sqrt{7} \) dưới dạng \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \). Khi đó:
\[
(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}
\]
Chúng ta cần:
\[
a + b = 4 \quad \text{và} \quad 2\sqrt{ab} = \sqrt{7}
\]
Từ \( 2\sqrt{ab} = \sqrt{7} \), ta có \( \sqrt{ab} = \frac{\sqrt{7}}{2} \), dẫn đến:
\[
ab = \frac{7}{4}
\]
Đặt \( a \) và \( b \) là hai số thỏa mãn \( a + b = 4 \) và \( ab = \frac{7}{4} \), \( a \) và \( b \) là nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x^2 - 4x + \frac{7}{4} = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 16 - 7 = 9
\]
Vậy nghiệm là:
\[
x = \frac{4 \pm 3}{2} \Rightarrow x_1 = \frac{7}{2}, x_2 = \frac{1}{2}
\]
Do đó, \( a = \frac{7}{2} \) và \( b = \frac{1}{2} \), hoặc ngược lại. Vậy:
\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} = \sqrt{\frac{7}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{7} + 1}{\sqrt{2}}
\]

2. **Rút gọn \( \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} \)**:
Tương tự, ta có thể viết \( 8 - 3\sqrt{5} = (\sqrt{c} - \sqrt{d})^2 \), với \( c + d = 8 \) và \( -2\sqrt{cd} = -3\sqrt{5} \), từ đó \( 2\sqrt{cd} = 3\sqrt{5} \) dẫn đến \( cd = \frac{45}{4} \).

Giải phương trình bậc hai:
\[
x^2 - 8x + \frac{45}{4} = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 64 - 45 = 19
\]
Nghiệm là:
\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{2} = 4 \pm \frac{\sqrt{19}}{2}
\]
Do đó ta có:
\[
\sqrt{8 - 3\sqrt{5}} = \sqrt{4 - \frac{\sqrt{19}}{2}} - \sqrt{4 + \frac{\sqrt{19}}{2}}
\]

3. **Tổng hợp lại**:
Sau khi rút gọn các phần, chúng ta có:
\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} - \sqrt{2} = \frac{\sqrt{7} + 1 - 2}{\sqrt{2}} + \sqrt{4 - \frac{\sqrt{19}}{2}} - \sqrt{4 + \frac{\sqrt{19}}{2}} = \frac{\sqrt{7} - 1}{\sqrt{2}} + ?
\]
Ngẫm sẽ không đem lại biểu thức đơn giản hơn.

Kết quả sau khi rút gọn:
\[
\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{8 - 3\sqrt{5}} - \sqrt{2} \text{ không thể rút gọn thêm.}
\]