Để xác định giá trị của \( n \) sao cho biểu thức \( \frac{3n + 7}{n - 2} \) là số nguyên, chúng ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng 0 và \( 3n + 7 \) chia hết cho \( n - 2 \).

### Bước 1: Điều kiện không chia hết
Mẫu số \( n - 2 \) không được bằng 0, tức là:
\[
n - 2 \neq 0 \implies n \neq 2
\]

### Bước 2: Tìm số nguyên thỏa mãn điều kiện
Chúng ta có thể viết lại biểu thức \( \frac{3n + 7}{n - 2} \).

Sử dụng phương pháp chia, chúng ta thực hiện như sau:
1. Chia \( 3n + 7 \) cho \( n - 2 \):
\[
\frac{3n + 7}{n - 2} = 3 + \frac{13}{n - 2}
\]
Để \( \frac{3n + 7}{n - 2} \) là số nguyên, điều kiện cần là \( \frac{13}{n - 2} \) phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( n - 2 \) phải là số chia \( 13 \).

### Bước 3: Xác định số chia của 13
Các ước số của 13 gồm có: \( \pm 1 \) và \( \pm 13 \).

- Nếu \( n - 2 = 1 \), ta có:
\[
n = 3
\]

- Nếu \( n - 2 = -1 \), ta có:
\[
n = 1
\]

- Nếu \( n - 2 = 13 \), ta có:
\[
n = 15
\]

- Nếu \( n - 2 = -13 \), ta có:
\[
n = -11
\]

### Kết luận
Các giá trị của \( n \) mà cho phép biểu thức \( \frac{3n + 7}{n - 2} \) là số nguyên là:
\[
n = 1, n = 3, n = 15, n = -11
\]