Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = 2xy + yz + zx \) với điều kiện \( 2x + 2y + z = 4 \), ta có thể sử dụng phương pháp Lagrange hoặc thay thế.

### Bước 1: Biến đổi điều kiện

Từ \( 2x + 2y + z = 4 \), ta có thể viết lại \( z = 4 - 2x - 2y \).

### Bước 2: Thay thế vào biểu thức A

Thay \( z \) vào \( A \):

\[
A = 2xy + y(4 - 2x - 2y) + x(4 - 2x - 2y)
\]

\[
A = 2xy + 4y - 2xy - 2y^2 + 4x - 2x^2 - 2xy
\]

\[
A = 4x + 4y - 2x^2 - 2y^2 - 2xy
\]

### Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất của A

Bây giờ ta cần tìm cực trị của hàm A này. Một cách khác là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

### Bước 4: Áp dụng điều kiện

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\[
(2x + 2y + z)(2 + 2 + 1) \geq (2\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2
\]

Do \( 2x + 2y + z = 4 \), nên:

\[
4(5) \geq (2\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2
\]

\[
20 \geq (2\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx})^2
\]

\[
\sqrt{20} \geq 2\sqrt{xy} + \sqrt{yz} + \sqrt{zx}
\]

### Bước 5: Tính giá trị lúc đạt cực đại

Khi \( x = y = z \), điều kiện \(2x + 2y + z = 4 \) sẽ cho \(x\), \(y\), \(z\) cùng bằng 1.

Thay vào:

\[
A = 2(1)(1) + (1)(1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4
\]

### Kết luận

Vậy giá trị lớn nhất của \( A = 2xy + yz + zx \) trên tập hợp điều kiện \(2x + 2y + z = 4\) là **4**.