Để khải triển đa thức \((x+y+1)^3\), ta có thể áp dụng định lý nhị thức hoặc sử dụng quy tắc phân phối.

Sử dụng định lý nhị thức, ta có:

\[
(a + b + c)^n = \sum_{i+j+k=n} \frac{n!}{i!j!k!} a^i b^j c^k
\]

Trong trường hợp của chúng ta, \(a = x\), \(b = y\), \(c = 1\) và \(n = 3\).

Vì vậy, chúng ta cần tìm tất cả các tổ hợp của \(i\), \(j\), và \(k\) sao cho \(i + j + k = 3\). Các trường hợp có thể là:

1. \(i = 3, j = 0, k = 0\)
2. \(i = 2, j = 1, k = 0\)
3. \(i = 2, j = 0, k = 1\)
4. \(i = 1, j = 2, k = 0\)
5. \(i = 1, j = 1, k = 1\)
6. \(i = 1, j = 0, k = 2\)
7. \(i = 0, j = 3, k = 0\)
8. \(i = 0, j = 2, k = 1\)
9. \(i = 0, j = 1, k = 2\)
10. \(i = 0, j = 0, k = 3\)

Chúng ta sẽ tính trọng số cho mỗi trường hợp:

1. \( \frac{3!}{3!0!0!} x^3 = 1x^3 \)
2. \( \frac{3!}{2!1!0!} x^2y = 3x^2y \)
3. \( \frac{3!}{2!0!1!} x^2 = 3x^2 \)
4. \( \frac{3!}{1!2!0!} xy^2 = 3xy^2 \)
5. \( \frac{3!}{1!1!1!} xy = 6xy \)
6. \( \frac{3!}{1!0!2!} x = 3x \)
7. \( \frac{3!}{0!3!0!} y^3 = 1y^3 \)
8. \( \frac{3!}{0!2!1!} y^2 = 3y^2 \)
9. \( \frac{3!}{0!1!2!} y = 3y \)
10. \( \frac{3!}{0!0!3!} = 1 \)

Kết hợp tất cả các kết quả lại, ta có:

\[
(x+y+1)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x^2 + 3xy^2 + 6xy + 3y^2 + y^3 + 3
\]

Cuối cùng, chúng ta có thể viết lại kết quả:

\[
(x+y+1)^3 = x^3 + 3x^2y + 3x^2 + 3xy^2 + 3y^2 + 6xy + y^3 + 1
\]

Kết quả là:

\[
x^3 + 3x^2y + 3x^2 + 3xy^2 + 3y^2 + 6xy + y^3 + 1
\]