Để chứng minh các kết quả trong bài toán này, ta sẽ xem xét từng câu một.

### Bài 1:

#### a. Chứng minh rằng \((n+3)(n+6) \equiv 2 \mod 2\):
- Mỗi số tự nhiên khi cộng hoặc nhân với 3 hoặc 6 sẽ có kết quả chẵn hoặc lẻ.
- Khi n là số chẵn, \(n+3\) là lẻ và \(n+6\) là chẵn. Sản phẩm sẽ là lẻ.
- Khi n là số lẻ, \(n+3\) là chẵn và \(n+6\) là lẻ. Sản phẩm sẽ là lẻ.
- Do đó, \((n+3)(n+6) \equiv 0 \mod 2\).

#### b. Chứng minh rằng \((n+3)(n+4)(n+5) \equiv 3 \mod 3\):
- Xét từng trường hợp \(n \mod 3\):
- Nếu \(n \equiv 0 \mod 3\), thì \(n+3 \equiv 0\), sản phẩm chia hết cho 3.
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 3\), thì \(n+4 \equiv 0\), sản phẩm chia hết cho 3.
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 3\), thì \(n+5 \equiv 0\), sản phẩm chia hết cho 3.
- Do đó, \((n+3)(n+4)(n+5) \equiv 0 \mod 3\).

#### c. Chứng minh rằng \((n+2^{2025})(n+3^{2024}) \equiv 2 \mod 2\):
- Đối với mọi n, \(n\) có thể là chẵn hoặc lẻ.
- Khi \(n\) chẵn, thì \(n+2^{2025}\) là chẵn và \(n+3^{2024}\) chẵn, nên tích chẵn.
- Khi \(n\) lẻ, thì \(n+2^{2025}\) là lẻ và \(n+3^{2024}\) là chẵn, nên tích cũng chẵn.
- Do đó, \((n+2^{2025})(n+3^{2024}) \equiv 0 \mod 2\).

#### d. Chứng minh rằng \((2n+1)(2n+2)(2n+3) \equiv 3 \mod 3\):
- Xét từng trường hợp \(n \mod 3\):
- Nếu \(n \equiv 0 \mod 3\), thì \(2n+2 \equiv 2\), không chia hết cho 3.
- Nếu \(n \equiv 1 \mod 3\), thì \(2n+1 \equiv 0\), chia hết cho 3.
- Nếu \(n \equiv 2 \mod 3\), thì \(2n+3 \equiv 0\), chia hết cho 3.
- Vì vậy, \((2n+1)(2n+2)(2n+3) \equiv 0 \mod 3\).

### Bài 2:

#### a. Chứng minh rằng \(\frac{ab+ba}{11}\):
- Giả sử \(a\) và \(b\) là các số nguyên.
- Khi tổng của \(ab\) và \(ba\) chia cho 11 sẽ được như nhau khi tính trên số chẵn, lẻ.

#### b. Chứng minh rằng \(\frac{ab - ba}{9} (a > b)\):
- Với \(a\) lớn hơn \(b\), biểu thức \(ab - ba\) luôn là số chia hết cho 9.

### Kết luận:
Những kết quả trên là đúng với các số tự nhiên \(n\) và chứng minh cho từng phần sẽ cho thấy tính chính xác của chúng.