Để tính độ dài đoạn thẳng \( AN \) trong tam giác \( ABC \), ta làm theo các bước sau:

1. **Tính góc \( A \)**:
\[
A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (38^\circ + 30^\circ) = 112^\circ
\]

2. **Áp dụng định lý Sin để tính các cạnh còn lại**:
Gọi \( AC = b \) và \( AB = a \).
Ta có:
\[
\frac{a}{\sin C} = \frac{b}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}
\]
Với \( BC = 11 \) cm, ta áp dụng:
\[
\frac{11}{\sin(112^\circ)} = \frac{a}{\sin(30^\circ)} = \frac{b}{\sin(38^\circ)}
\]

Tính \( a \) trước:
\[
a = 11 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(112^\circ)} = 11 \cdot \frac{0.5}{0.9272} \approx 5.93 \text{ cm}
\]

Tiếp theo, tính \( b \):
\[
b = 11 \cdot \frac{\sin(38^\circ)}{\sin(112^\circ)} = 11 \cdot \frac{0.6157}{0.9272} \approx 7.29 \text{ cm}
\]

3. **Tính độ dài \( AN \)**:
Sử dụng công thức tính độ dài đoạn vuông góc từ \( A \) (đường cao) xuống cạnh \( BC \):
\[
AN = b \cdot \sin A = 7.29 \cdot \sin(112^\circ) \approx 7.29 \cdot 0.9272 \approx 6.76 \text{ cm}
\]

Vậy độ dài đoạn thẳng \( AN \approx 6.76 \) cm.