Để chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD có \( AB \parallel CD \) và các đường chéo \( AC \) và \( BD \) cắt nhau tại \( E \), ta có \( EC = ED \) và \( EA = EB \), ta có thể thực hiện các bước như sau:

1. **Ký hiệu và tính chất**: Gọi \( AB = a \) và \( CD = b \) với \( a = b \) vì ABCD là hình thang cân. Điều này chứng tỏ hai cạnh đáy bằng nhau.

2. **Tam giác đồng dạng**: Do \( AB \parallel CD \), ta có các góc tương ứng đồng dạng. Cụ thể, \( \angle AEB = \angle CED \) và \( \angle ABE = \angle DCE \).

3. **Sử dụng tính chất của hình thang**: Vì hình thang cân có các đường chéo cắt nhau, chúng ta có thể áp dụng định lý về đường chéo trong hình thang. Các tam giác \( \triangle ABE \) và \( \triangle CDE \) sẽ có tỉ lệ cạnh tương ứng. Do đó, có:
\[
\frac{EA}{EB} = \frac{EC}{ED}
\]

4. **Vì hai tam giác này đồng dạng**, ta có \( EA = EB \) và \( EC = ED \).

5. **Kết luận**: Từ các bước trên, ta đã chứng minh được rằng:
- \( EA = EB \)
- \( EC = ED \)

Như vậy, ta đã hoàn thành việc chứng minh các yêu cầu đề bài.