Cho \( O \) là tâm của đường tròn \((O; OA)\) với bán kính \( OA = 3 \) cm. Đường thẳng vuông góc với \( OA \) tại điểm \( A \) cắt đường tròn tại hai điểm \( B \) và \( C \).

### Bước 1: Chứng minh tam giác \( OAB \) đều

1. **Tính độ dài \( OA \)**:
- Chúng ta đã có \( OA = 3 \) cm.

2. **Tính độ dài \( AB \)** và **bằng nhau**:
- Vì \( O \) là tâm của đường tròn và \( A \) là điểm nằm trên đường tròn, nên đường kính của đường tròn là \( OB \) và \( OC \).
- Bởi \( AB \) là cạnh bên của tam giác \( OAB \), mà \( B \) nằm trên đường tròn, suy ra \( OB = OA = 3 \) cm.

3. **Chứng minh độ dài các cạnh**:
- Trong tam giác \( OAB \):
- \( OA = OB = 3 \) cm.
- Vì \( OA = OB \), nên \( \triangle OAB \) là tam giác cân.

4. **Tính độ dài \( AB \)**:
- Đường thẳng vuông góc với \( OA \) tại \( A \) cắt đường tròn tại \( B \) và \( C \) tạo thành góc vuông.
- Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OAB \):
\[
AB^2 + OA^2 = OB^2
\]
\[
AB^2 + 3^2 = 3^2
\]
- Suy ra \( AB^2 + 9 = 9 \).
- Như vậy \( AB^2 = 0 \) và \( AB = 0 \), tức là \( A \) trùng với \( B \).

5. **Chứng minh tam giác đều**:
- Nếu \( AB = OA, AB = OC\), và \( AC = AB\) thì tam giác \( OAB \) sẽ là tam giác đều.

### Bước 2: Tính độ dài cạnh \( BC \)
- Khi \( B \) và \( C \) là điểm cắt của đường tròn với đường thẳng vuông góc tại \( A \):
- \( AB = AC = OA = 3 \) cm,
- Tam giác \( ABC\) là tam giác vuông tại \( A\).
- Tính độ dài \( BC \):
- Sử dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = OB^2 - OA^2
\]
\[
BC^2 = 3^2 - 3^2 = 0
\]
Điều đó chứng minh rằng \( B = C\).

Vậy \( BC = 0 \) cm hoặc \( BC = 2 \sqrt{3} \).