Để tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất \((x_0, y_0)\) thỏa mãn \(x_0 + y_0 = 2025\), trước tiên ta cần viết lại hệ phương trình:

\[
\begin{cases}
2x + (m - 1)y = 1 \\
mx + y = m
\end{cases}
\]

### a) Giải hệ với \(m = 3\)

Thay \(m = 3\) vào hệ phương trình ta có:

\[
\begin{cases}
2x + (3 - 1)y = 1 \\
3x + y = 3
\end{cases}
\]

Biến đổi thành:

\[
\begin{cases}
2x + 2y = 1 \quad (1) \\
3x + y = 3 \quad (2)
\end{cases}
\]

Từ phương trình (1), ta có:

\[
x + y = \frac{1}{2} \quad (3)
\]

Giải phương trình (2) theo \(y\):

\[
y = 3 - 3x
\]

Thay \(y\) từ (3) vào (1):

\[
x + (3 - 3x) = \frac{1}{2}
\]

Giải phương trình trên:

\[
x - 3x + 3 = \frac{1}{2} \implies -2x + 3 = \frac{1}{2} \implies -2x = \frac{1}{2} - 3 \implies -2x = -\frac{5}{2}
\]
\[
x = \frac{5}{4}
\]

Từ đó, thay \(x\) vào (3) để tìm \(y\):

\[
\frac{5}{4} + y = \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{2} - \frac{5}{4} = -\frac{3}{4}
\]

Vậy nghiệm của hệ khi \(m = 3\) là \((x_0, y_0) = \left(\frac{5}{4}, -\frac{3}{4}\right)\).

### b) Tìm \(m\) để có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x_0 + y_0 = 2025\)

Để hệ có nghiệm duy nhất, định thức của ma trận hệ số phải khác 0.

Tính định thức:

\[
D =
\begin{vmatrix}
2 & m - 1 \\
m & 1
\end{vmatrix}
= 2 \cdot 1 - (m - 1) \cdot m = 2 - m^2 + m
\]

Để có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
D \neq 0 \implies -m^2 + m + 2 \neq 0 \implies m^2 - m - 2 \neq 0
\]

Giải phương trình bậc 2:

\[
m^2 - m - 2 = 0 \implies (m - 2)(m + 1) = 0 \implies m = 2 \text{ hoặc } m = -1
\]

Điều này có nghĩa là \(m\) không được nhận giá trị 2 hoặc -1.

Để có nghiệm duy nhất \((x_0, y_0)\) sao cho \(x_0 + y_0 = 2025\), thay \(y = 2025 - x\) vào một trong các phương trình và kiểm tra điều kiện.

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

\[
2x + (m - 1)(2025 - x) = 1
\]

Giải phương trình này để tìm biểu thức cho x và xác định giá trị của m cho điều kiện nghiệm. Mà nhất quán, các xử lý này, \(m\) cần thoát ra các giá trị từ điều kiện và căn cứ trên kết quả.