Để chứng minh các phần a) và b) của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất của tam giác cân.

**a) Chứng minh rằng \( HB = HC \):**

1. Xét tam giác ABC cân tại A, tức là \( AB = AC \).
2. Kẻ AH vuông góc với BC, với H thuộc BC.
3. Lập các tam giác vuông: từ H, kẻ đường thẳng HB và HC đến 2 đỉnh B và C.
4. Xét 2 tam giác HBA và HCA.
- Tam giác HBA và HCA đều có:
- Cạnh HA chung: \( HA = HA \)
- Góc HAB bằng góc HAC (bởi vì chúng đều là phần của góc A)
- Góc AHB bằng góc AHC (cùng là góc vuông).
5. Theo tiêu chuẩn tam giác (GHC), 2 tam giác HBA và HCA bằng nhau.
6. Do đó, các cặp cạnh tương ứng cũng bằng nhau, tức là \( HB = HC \).

**Kết luận:** \( HB = HC \).

---

**b) Chứng minh rằng AH là tia phân giác của góc BAC:**

1. Từ phần a), chúng ta đã biết rằng \( HB = HC \).
2. Ở đây chúng ta có \( AB = AC \) (do tam giác ABC là tam giác cân).
3. Ta dùng định nghĩa tia phân giác, tia phân giác sẽ chia một góc thành hai góc bằng nhau.
4. Xét góc A của tam giác ABC, ta có:
- \( \angle HAB = \angle HAC \).
5. Vì \( HB = HC \) và \( AB = AC \), do đó theo tính chất tam giác cân, chúng ta có:
- Góc \( \angle HBA = \angle HCA \) (đây là góc đối diện với cạnh bằng nhau).
6. Như vậy, AH không chỉ chia góc BAC thành 2 góc bằng nhau mà còn đáp ứng điều kiện của tia phân giác.

**Kết luận:** \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu trong bài toán: \( HB = HC \) và \( AH \) là tia phân giác của góc \( BAC \).