Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Rút gọn biểu thức M
Biểu thức M được cho là:

\[
M = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{3\sqrt{x}-1}{1-x} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} - \frac{4\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}} \right)
\]

1. Rút gọn từng thành phần trong biểu thức.
2. Kết hợp các phần lại với nhau.

### b) Tìm các số tự nhiên x để M là số nguyên
Sau khi rút gọn, ta cần tìm giá trị của \(x\) (là số tự nhiên) sao cho \(M\) là số nguyên.

### c) Tìm x thoả mãn \(M < 0\)
Cuối cùng, ta sẽ xác định các giá trị của \(x\) sao cho \(M\) âm.

### Tiến hành chi tiết
1. **Rút gọn M**: Cần tính toán chi tiết, nếu các phần tử phức tạp, có thể chia thành nhiều bước nhỏ hơn để dễ dàng theo dõi và quản lý.

2. **Tìm x**: Kiểm tra các giá trị tự nhiên từ 0 trở lên (0, 1, 2, ...), thay vào biểu thức đã rút gọn và kiểm tra xem \(M\) có phải là số nguyên.

3. **M < 0**: Sau khi tìm được M, xác định các khoảng giá trị của \(x\) khiến \(M < 0\) bằng cách phân tích dấu.

**Lưu ý:** Để có kết quả chính xác, bạn có thể cần thực hiện từng bước trên giấy để có thể kiểm tra từng điều kiện một cách chi tiết.