Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số tính chất về tam giác vuông và các trung điểm.

### 1. Chứng minh góc IHK = 90 độ:
Đầu tiên, ta có tam giác ABC vuông tại A với AH là đường cao từ A đến BC. Ký hiệu:
- I là trung điểm của AB.
- K là trung điểm của AC.

Ta có:
- \( AI = \frac{1}{2} AB \)
- \( AK = \frac{1}{2} AC \)

Xét tam giác vuông ABC, có chiều cao AH. Khi đó, ta có:

- Đường thẳng BC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC, và AH vuông góc với BC.
- Do I và K là trung điểm của hai cạnh AB và AC, ta có:
\[
IH = \frac{1}{2} AH \quad \text{(vì I là trung điểm)}
\]
\[
KH = \frac{1}{2} AH \quad \text{(vì K là trung điểm)}
\]

Từ đó, IHK trở thành một tam giác vuông tại H:
- IH // AC (vì I nằm trên AB).
- KH // AB (vì K nằm trên AC).

### Kết luận:
Góc IHK = 90 độ.

### 2. Chứng minh chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC:
- Chu vi tam giác ABC được tính bằng:
\[
P_{ABC} = AB + AC + BC
\]

- Ta biết rằng I là trung điểm của AB và K là trung điểm của AC nên:
\[
AI = \frac{1}{2} AB \quad \text{và} \quad AK = \frac{1}{2} AC
\]

- Do đó, ta có:
\[
IH = AI = \frac{1}{2} AB, \quad KH = AK = \frac{1}{2} AC
\]
- Đoạn HK (cạnh nối giữa hai trung điểm) theo định lý đường trung bình trong tam giác là:
\[
HK = \frac{1}{2} BC
\]

- Tính chu vi tam giác IHK:
\[
P_{IHK} = IH + KH + HK = \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} AC + \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} (AB + AC + BC) = \frac{1}{2} P_{ABC}
\]

### Kết luận:
Chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC.

Vậy, ta đã chứng minh:
a) Góc IHK = 90 độ.
b) Chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC.