Khi gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại, thì tỉ số giữa động năng và thế năng của vật là

Để giải bài toán này, ta xét động năng \(E_k\) và thế năng \(E_p\) của vật dao động điều hòa.

Trong dao động điều hòa, động năng và thế năng được biểu diễn như sau:

- Động năng: \(E_k = \frac{1}{2} m v^2\)
- Thế năng: \(E_p = \frac{1}{2} k A^2\)

Trong đó:
- \(m\) là khối lượng của vật,
- \(v\) là vận tốc của vật,
- \(k\) là độ cứng của lò xo,
- \(A\) là biên độ dao động.

Gia tốc cực đại \(a_{max}\) của vật là:
\[
a_{max} = A \omega^2
\]
Trong đó \(\omega\) là tần số góc. Khi gia tốc \(a\) bằng một nửa gia tốc cực đại, ta có:
\[
a = \frac{1}{2} A \omega^2
\]

Ta cũng biết rằng gia tốc \(a\) trong dao động điều hòa liên quan đến vị trí \(x\) của vật:
\[
a = -\omega^2 x
\]

Thay \(x\) vào phương trình gia tốc, ta có:
\[
-\omega^2 x = \frac{1}{2} A \omega^2
\]
Suy ra:
\[
x = -\frac{1}{2} A
\]

Khi \(x = -\frac{1}{2} A\), ta tính động năng và thế năng:

1. Thế năng:
\[
E_p = \frac{1}{2} k A^2 (1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^2) = \frac{1}{2} k A^2 \frac{3}{4} = \frac{3}{8} k A^2
\]

2. Động năng:
\[
E_k = \frac{1}{2} m v^2
\]
Vận tốc \(v\) khi \(x = -\frac{1}{2} A\) được tính từ phương trình bảo toàn năng lượng:
\[
E_{tot} = E_k + E_p = \frac{1}{2} k A^2
\]
Ta có:
\[
E_k = \frac{1}{2} k A^2 - E_p = \frac{1}{2} k A^2 - \frac{3}{8} k A^2 = \frac{1}{8} k A^2
\]

Tính tỉ số giữa động năng và thế năng:
\[
\frac{E_k}{E_p} = \frac{\frac{1}{8} k A^2}{\frac{3}{8} k A^2} = \frac{1}{3}
\]

Vậy tỉ số giữa động năng và thế năng của vật là:
\[
\boxed{\frac{1}{3}}
\]