A=1/1*2+1/3*4+1/5*6+..+1/99*100

Để giải bài toán này, ta bắt đầu bằng cách xác định biểu thức tổng

\[
A = \sum_{n=1}^{99} \frac{1}{n(n+1)}.
\]

Chúng ta có thể biến đổi từng hạng tử trong tổng này:

\[
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.
\]

Sử dụng biến đổi này, ta có thể viết lại tổng \(A\) như sau:

\[
A = \sum_{n=1}^{99} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right).
\]

Khi tổng hợp từ \(n=1\) đến \(n=99\), ta nhận được chuỗi:

\[
A = \left( 1 - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{99} - \frac{1}{100} \right).
\]

Các hạng tử sẽ thu hẹp dần và cuối cùng ta nhận được:

\[
A = 1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ xác minh hai bất đẳng thức mà đề bài yêu cầu:

\[
\frac{25}{75} + \frac{25}{100} < A < \frac{25}{51} + \frac{25}{75}.
\]

Trước tiên, ta sẽ đánh giá bất đẳng thức bên trái:

\[
\frac{25}{75} + \frac{25}{100} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \approx 0.5833.
\]

Tiếp theo, ta đánh giá:

\[
\frac{25}{51} + \frac{25}{75} = \frac{25}{51} + \frac{1}{3} \approx 0.4902 + 0.3333 \approx 0.8235.
\]

Ta có:

\[
0.5833 < 0.99 < 0.8235.
\]

Vì vậy, chúng ta có:

\[
\frac{25}{75} + \frac{25}{100} < A < \frac{25}{51} + \frac{25}{75}.
\]

Cuối cùng, ta đã chứng minh và kết luận rằng:

\[
\frac{25}{75} + \frac{25}{100} < A < \frac{25}{51} + \frac{25}{75}.
\]

Do đó, bất đẳng thức đã được chứng minh.