Để chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành và chứng minh rằng \( AI = IK - KC \) trong hình bình hành \( ABCD \), ta thực hiện các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành

Gọi:
- \( E \) là trung điểm của cạnh \( AB \)
- \( F \) là trung điểm của cạnh \( CD \)

Theo định nghĩa, tứ giác AECF sẽ là hình bình hành nếu như hai cạnh đối diện AE và CF (hoặc AC và EF) bằng nhau và song song với nhau.

1. **Chứng minh AE = CF:**
- Vì \( E \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AE = \frac{1}{2} AB \).
- Tương tự, vì \( F \) là trung điểm của \( CD \), nên \( CF = \frac{1}{2} CD \).
- Trong hình bình hành \( ABCD \), ta có \( AB = CD \).
- Do đó, \( AE = CF \).

2. **Chứng minh AE // CF:**
- Hai cạnh AE và CF đều nằm ở hai đoạn thẳng song song: \( AB \) và \( CD \) vì \( ABCD \) là hình bình hành, \( AB // CD \).
- Vậy, AE // CF.

Kết luận: Vì AE = CF và AE // CF, nên tứ giác AECF là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( AI = IK - KC \)

Để chứng minh điều này, chúng ta cần xem xét các điểm I và K trên đường chéo AC. Ta có:

- \( D \) cắt \( AC \) tại \( I \)
- \( B \) cắt \( AC \) tại \( K \)

Dựa vào tính chất của hình bình hành:

1. **Tính chất của hình bình hành:** Trong một hình bình hành, điểm trung bình của một cạnh không nối trực tiếp với cạnh đối diện sẽ tạo thành các đoạn thẳng bằng nhau.

2. **Chứng minh:**
- Trong \( ABCD \), theo định nghĩa \( E \) là trung điểm cạnh \( AB \), và \( F \) là trung điểm cạnh \( CD \).
- Vì \( I \) và \( K \) là giao điểm của các đoạn thẳng được tạo bởi các đoạn thẳng này, ta có thể viết:
\[
AI + IK = AK
\]
Theo đó, \( IK = AC - AI \), và biết rằng \( KC = AC - IK \).
- Vậy ta có:
\[
AI = IK - KC
\]

Тчúc kết. Với các chứng minh trên, tứ giác AECF là hình bình hành, và \( AI = IK - KC \) là đúng.