Chúng ta sẽ thực hiện các phép tính dưới đây:

### a) Tính \( E = \sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \)

Để đơn giản hóa biểu thức, ta có thể tìm một dạng bình phương:
Giả sử \( E = \sqrt{a} + \sqrt{b} \). Thì ta có:
\[
E^2 = a + b + 2\sqrt{ab} = 7 + 4\sqrt{3}
\]
So sánh:
- \( a + b = 7 \)
- \( 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{3} \) → \( \sqrt{ab} = 2\sqrt{3} \) → \( ab = 12 \)

Giải hệ phương trình:
1. \( a + b = 7 \)
2. \( ab = 12 \)

Áp dụng định lý bậc hai:
\[
x^2 - 7x + 12 = 0
\]
Tính discriminant:
\[
D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{7 \pm 1}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = 4, \quad x_2 = 3
\]
Vậy:
\[
E = \sqrt{4} + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}
\]

### b) Tính \( F = \sqrt{12 - 6\sqrt{3}} \)

Tương tự, ta giả sử \( F = \sqrt{a} - \sqrt{b} \):
\[
F^2 = a + b - 2\sqrt{ab} = 12 - 6\sqrt{3}
\]
So sánh:
- \( a + b = 12 \)
- \( -2\sqrt{ab} = -6\sqrt{3} \) → \( \sqrt{ab} = 3\sqrt{3} \) → \( ab = 27 \)

Giải hệ phương trình:
1. \( a + b = 12 \)
2. \( ab = 27 \)

Tương tự ta có:
\[
x^2 - 12x + 27 = 0
\]
Tính discriminant:
\[
D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 - 108 = 36
\]
Giải phương trình:
\[
x = \frac{12 \pm 6}{2}
\]
Ta có hai nghiệm:
\[
x_1 = 9, \quad x_2 = 3
\]
Vậy:
\[
F = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}
\]

### Kết quả:
- \( E = 2 + \sqrt{3} \)
- \( F = 3 - \sqrt{3} \)