Để phân tích đa thức \( P(x) = x^5 + x^3 - x^2 - 1 \) thành nhân tử, ta có thể thử tìm các yếu tố mà P(x) có thể phân tích.

Bước 1: Kiểm tra các giá trị đặc biệt (các nghiệm của đa thức).

Ta có thể thử các giá trị của \( x \) từ -2 đến 2 để xem có nghiệm nào không.

- Khi \( x = 1 \):

\[
P(1) = 1^5 + 1^3 - 1^2 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \text{ là nghiệm.}
\]

Bước 2: Chia đa thức \( P(x) \) cho \( (x - 1) \).

Ta sử dụng phép chia đa thức:

\[
\text{Chia } x^5 + x^3 - x^2 - 1 \text{ cho } (x - 1).
\]

Kết quả của phép chia này cho ta đa thức bậc 4 là:

\[
x^5 + x^3 - x^2 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^4 + 1).
\]

Bước 3: Phân tích tiếp \( x^4 + x^4 + 1 \).

Để phân tích \( x^4 + x^4 + 1 \), ta có thể thử nghiệm các phép chia hoặc các thay đổi. Tuy nhiên, ta nhận thấy \( x^4 + x^4 + 1 \) không thể phân tích dễ dàng hơn nữa vì nó không có nghiệm thực.

Nếu ta kiểm tra tỉ số, và không tìm thấy nghiệm nào khác, ta sẽ kết luận rằng \( P(x) \) có thể được phân tích như sau:

\[
P(x) = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).
\]

Bước 4: Kết luận.

Vậy đa thức \( P(x) = x^5 + x^3 - x^2 - 1 \) có thể được phân tích thành nhân tử như sau:

\[
P(x) = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).
\]

Đây là kết quả của phép phân tích đa thức ban đầu.