Để chứng minh các phần trong bài toán đã nêu, ta tiến hành như sau:

### Giả thiết:
- Góc nhọn xOy.
- OA = OB với A trên Ox và B trên Oy.

### Chứng minh:

#### a. \( AE = BF \)

- Từ điểm A, kẻ đường thẳng vuông góc với Ox cắt Oy tại E.
- Từ điểm B, kẻ đường thẳng vuông góc với Oy cắt Ox tại F.
- Gọi O là góc xOy và I là giao điểm của AE và BF.

**Chứng minh:**
- Xét tam giác OAE và OBF:
- OA = OB (giả thiết).
- Góc OAE = Góc OBF = 90 độ (do AE và BF vuông góc với Ox và Oy).
- Do đó, theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
AE = OA \cdot \sin(góc OAE) = OB \cdot \sin(góc OBF) = BF
\]
- Kết luận: \( AE = BF \).

#### b. \( \Delta AFI = \Delta BEI \)

- Xét hai tam giác AFI và BEI:
- AE = BF (chứng minh ở phần a).
- Góc AIE = Góc BIE (cùng một góc).
- AF = EI (vuông góc).

**Chứng minh:**
- Áp dụng định lý về hai tam giác đồng dạng:
\[
\Delta AFI \sim \Delta BEI
\]
- Do đó, \( \Delta AFI = \Delta BEI \).

#### c. \( OI \) là tia phân giác của góc AOB

- Ta có:
- AE = BF
- Hai tam giác AFI và BEI là bằng nhau, từ đó cho thấy rằng OI chia OA và OB thành hai đoạn tỉ lệ.

**Kết luận:**
Tia OI là tia phân giác của góc AOB.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành các chứng minh cho bài toán.