Gọi phân số cần tìm là \(\frac{a}{b}\), với \(a\) là tử số và \(b\) là mẫu số. Theo đề bài, ta có:

\[
\frac{a}{b} = \frac{4}{5}
\]

Từ phương trình này, ta suy ra:

\[
5a = 4b \quad (1)
\]

Tiếp theo, theo thông tin trong đề bài, khi tăng mẫu số của phân số thêm 6 đơn vị, ta có:

\[
\frac{a}{b + 6} = \frac{2}{3}
\]

Từ phương trình này, ta cũng có thể viết lại:

\[
3a = 2(b + 6) \quad (2)
\]

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình (1) và (2) để giải hệ phương trình.

Từ phương trình (1):

\[
b = \frac{5a}{4}
\]

Thay giá trị của \(b\) vào phương trình (2):

\[
3a = 2\left(\frac{5a}{4} + 6\right)
\]

Giải phương trình này:

\[
3a = 2\left(\frac{5a}{4}\right) + 12
\]
\[
3a = \frac{10a}{4} + 12
\]
\[
3a = \frac{5a}{2} + 12
\]

Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số:

\[
6a = 5a + 24
\]

Giải phương trình:

\[
6a - 5a = 24
\]
\[
a = 24
\]

Bây giờ thay giá trị của \(a\) vào phương trình (1) để tìm \(b\):

\[
b = \frac{5 \cdot 24}{4} = 30
\]

Vậy phân số cần tìm là:

\[
\frac{a}{b} = \frac{24}{30}
\]

Rút gọn phân số:

\[
\frac{24}{30} = \frac{4}{5}
\]

Vậy, phân số cần tìm là \(\frac{24}{30}\) hoặc \(\frac{4}{5}\).