Để tính tổng \(3^2 + 6^2 + 9^2 + \ldots + 300^2\), ta có thể nhận thấy rằng đây là tổng của bình phương các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 3 đến 300.

Ta có thể viết lại tổng này như sau:
\[
3^2 + 6^2 + 9^2 + \ldots + 300^2 = 3^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 100^2)
\]
Vì \(3^2\) là \(9\) và số hạng đầu tiên \(3\) ứng với \(1\), số hạng tiếp theo \(6\) ứng với \(2\), và cứ thế cho đến \(300\) ứng với \(100\).

Số số hạng trong dãy này là \(100\).

Bây giờ, ta cần tính tổng \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 100^2\). Công thức tính tổng các bình phương của \(n\) số tự nhiên là:
\[
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Áp dụng cho \(n=100\):
\[
\sum_{k=1}^{100} k^2 = \frac{100(100+1)(2 \times 100 + 1)}{6} = \frac{100 \times 101 \times 201}{6}
\]

Tính từng bước một:
1. \(100 \times 101 = 10100\)
2. \(201/6 = 33.5\) (xem lại, tính gần đúng là \(201 = 33.5\))
3. Tổng này là \(10100 \times 33.5 = 337350\)

Vậy ta có:
\[
\sum_{k=1}^{100} k^2 = 338350
\]

Vậy bây giờ ta tính lại tổng ban đầu:
\[
3^2(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 100^2) = 9 \times 338350 = 3045150
\]

Tổng \(3^2 + 6^2 + 9^2 + \ldots + 300^2\) là:
\[
\boxed{3045150}
\]