Để giải hai phương trình, chúng ta sẽ làm theo từng bước.

### 1. Giải phương trình: \( \tan \frac{\pi}{3} = -2 \)

Điều này không đúng, bởi vì \( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \). Vì vậy, phương trình này không có nghiệm.

### 2. Giải phương trình: \( \cot(2x + \pi) = \sqrt{3} \)

Sử dụng định nghĩa của cotang, ta biết rằng:
\[
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
\]
Vì vậy, phương trình có thể viết lại thành:
\[
\tan(2x + \pi) = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Ta biết rằng:
\[
\tan \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
Do đó, \( 2x + \pi = n\pi + \frac{\pi}{6} \) với \( n \in \mathbb{Z} \).

Giải phương trình này:
\[
2x = n\pi + \frac{\pi}{6} - \pi
\]
\[
2x = n\pi - \frac{5\pi}{6}
\]
\[
x = \frac{n\pi}{2} - \frac{5\pi}{12}
\]

Do đó nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{n\pi}{2} - \frac{5\pi}{12}, \quad n \in \mathbb{Z}
\]

### Kết luận
- Phương trình đầu tiên không có nghiệm.
- Phương trình thứ hai có nghiệm dưới dạng \( x = \frac{n\pi}{2} - \frac{5\pi}{12} \).