Để chứng minh các điều cần thiết trong tam giác ABC đã cho, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh các cặp tam giác bằng nhau và tính chất thẳng hàng của các điểm.

### a) Chứng minh tam giác BEC = tam giác CFB

1. **Định nghĩa tam giác**: Ta có tam giác BEC và tam giác CFB, cần chứng minh chúng bằng nhau.
2. **Cạnh tương ứng**: Ta có BE và CF là các đường cao của tam giác ABC. Do đó, BE ⊥ AC và CF ⊥ AB.
3. **Cạnh chung**: Ta có cạnh EC = FB, đồng thời AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A).
4. **Góc tương ứng**: Chúng ta có:
- Góc BEC = Góc CFB (vì đều là góc vuông).
5. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng**:
- Ta có BEC = CFB (góc - cạnh - góc vuông).
- Do đó, tam giác BEC và tam giác CFB là đồng dạng.

=> Kết luận: Tam giác BEC = tam giác CFB.

### b) Chứng minh tam giác AHF = tam giác CHB

1. **Định nghĩa tam giác**: Ta cần chứng minh tam giác AHF và tam giác CHB bằng nhau.
2. **Cạnh chung**: Ta có AH = HC (chúng đều là độ dài đoạn thẳng từ H đến các đường cao BE, CF).
3. **Cạnh tương ứng**: Do tam giác ABC cân tại A, các đoạn thẳng AHB và AHC tương ứng với nhau.
4. **Góc tương ứng**:
- Góc AHF = góc CHB (do hai góc này đều bằng nhau tại H, là góc tạo thành với đường cao).
5. **Áp dụng tiêu chí đồng dạng**:
- Góc AHF = Góc CHB, AH = HC ⇒ tam giác AHF = tam giác CHB.

=> Kết luận: Tam giác AHF = tam giác CHB.

### c) Chứng minh điểm A, H, I thẳng hàng

1. **Định nghĩa điểm**: Gọi I là trung điểm của đoạn BC.
2. **Suy luận từ tam giác**: Do BE và CF là đường cao của tam giác ABC, đồng thời AH là đường phân giác của góc A, ta biết rằng H chia đoạn AC thành 2 phần bằng nhau.
3. **Tính chất trung điểm**: Ta có:
- I là trung điểm của BC ⇒ BI = IC.
- H nằm cùng phía với A trên đường trung trực của BC.
4. **Hợp nhất thông tin**: Bởi AH và HI đều là đoạn thẳng trên cùng một đường thẳng (do cùng là phần của đường thẳng dẫn đến điểm A), vì vậy A, H, I nằm trên một đường thẳng.

=> Kết luận: A, H, I thẳng hàng.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các tam giác BEC = CFB, AHF = CHB, và các điểm A, H, I thẳng hàng.