Để giải phương trình \( \frac{x - 1}{x - 2} = \frac{x - 2}{x - 3} \), ta sẽ bắt đầu bằng cách nhân chéo:

\[
(x - 1)(x - 3) = (x - 2)(x - 2)
\]

Mở rộng hai bên:

Bên trái:
\[
x^2 - 3x - x + 3 = x^2 - 4x + 3
\]

Bên phải:
\[
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
\]

Ta có phương trình:
\[
x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 4
\]

Bây giờ, trừ \(x^2 - 4x\) từ cả hai phía:
\[
3 = 4
\]

Điều này là không đúng. Điều này có nghĩa là phương trình ban đầu không có nghiệm.

Tuy nhiên, để kiểm tra kỹ hơn, ta nên xem lại các điều kiện mà phương trình có thể không xác định.

Xét các điều kiện không xác định:
- \( x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \)
- \( x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3 \)

Kết luận cuối cùng là phương trình không có nghiệm.