Để giải phương trình \(x^2 + 2y^2 + 2xy - 2x - 8y + 6 = 0\) cho các nghiệm nguyên, trước tiên ta sẽ sắp xếp lại phương trình để phân tích dễ hơn.

Đầu tiên, ta nhóm các hạng tử lại và xét lại phương trình:

\[
x^2 + 2xy - 2x + 2y^2 - 8y + 6 = 0
\]

Ta có thể nhóm lại như sau:

\[
(x^2 + 2xy - 2x) + (2y^2 - 8y + 6) = 0
\]

**Bước 1: Giải phương trình theo \(x\)**

Ta xem xét nghiệm \(x\) như một hàm số của \(y\). Ta sẽ viết lại phần trong dấu ngoặc đầu tiên:

\[
x^2 + 2xy - 2x = x^2 + 2x(y - 1)
\]

Ta sẽ cố gắng hoàn thành hình bình phương:

\[
x^2 + 2x(y - 1) = (x + (y - 1))^2 - (y - 1)^2
\]

**Bước 2: Tính toán phần còn lại**

Về phần còn lại:

\[
2y^2 - 8y + 6 = 2(y^2 - 4y + 3) = 2((y - 2)^2 - 1) = 2(y - 2)^2 - 2
\]

**Bước 3: Thay thế ngược lại**

Thay các kết quả vào phương trình:

\[
(x + (y - 1))^2 - (y - 1)^2 + 2(y - 2)^2 - 2 = 0
\]

Rút gọn, ta có:

\[
(x + (y - 1))^2 + 2(y - 2)^2 - (y - 1)^2 - 2 = 0
\]

**Bước 4: Giải phương trình**

Để đơn giản hóa và tìm nghiệm nguyên, ta sẽ thử các giá trị nguyên cho \(y\) và tìm nghiệm nguyên tương ứng cho \(x\).

Cho các giá trị khác nhau của \(y\):
- Thử \(y = 0\), \(y = 1\), \(y = 2\), \(y = 3\), \(y = 4\), v.v...

1. Với \(y = 2\):
\[
x^2 + 2(2^2) + 2x(2) - 2x - 8(2) + 6 = 0
\]
\[
x^2 + 8 + 4x - 2x - 16 + 6 = 0
\]
\[
x^2 + 2x - 2 = 0
\]
Delta: \(b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12\), không phải là số chính phương.

2. Với \(y = 3\):
\[
x^2 + 2(3^2) + 2x(3) - 2x - 8(3) + 6 = 0
\]
\[
x^2 + 18 + 6x - 2x - 24 + 6 = 0
\]
\[
x^2 + 4x = 0
\]
Nghiệm: \(x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc \(x = -4\).

Sav được nghiệm là:
\[
(y,x) = (2,-4) \text{ và } (3,0).
\]

3. Tiếp tục thử các giá trị của \(y\) để tìm thêm nghiệm nguyên nếu có.

Cuối cùng, ghi lại các nghiệm nguyên tìm được là:
\[
(x, y) = (0, 3), (-4, 3)
\]

Và có thể thử thêm bằng cách trên hoặc thử các giá trị âm cho \(y\) để kiểm tra các trường hợp khác nếu cần.