Để tìm các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức

\[
\frac{x + 3}{x - 2}
\]

nhận giá trị nguyên, ta có thể đặt \( k = \frac{x + 3}{x - 2} \), trong đó \( k \) là một số nguyên.

Điều này có thể được viết lại như sau:

\[
x + 3 = k(x - 2)
\]

Giải phương trình này:

\[
x + 3 = kx - 2k
\]

\[
x - kx = -2k - 3
\]

\[
x(1 - k) = -2k - 3
\]

Từ đó, ta có:

\[
x = \frac{-2k - 3}{1 - k} \quad (1)
\]

Để \( x \) trở thành số nguyên, \( -2k - 3 \) phải chia hết cho \( 1 - k \). Tìm các giá trị nguyên của \( k \):

Hãy chia và tìm các giá trị cụ thể:

1. Từ phương trình \( -2k - 3 \equiv 0 \mod (1 - k) \).
2. Thử với các giá trị nguyên cho \( k \):

- Nếu \( k = 1 \): \( x = \frac{-2(1) - 3}{1 - 1} \) (không xác định).
- Nếu \( k = 0 \): \( x = \frac{-3}{1} = -3 \).
- Nếu \( k = -1 \): \( x = \frac{2 - 3}{2} = -\frac{1}{2} \) (không phải nguyên).
- Nếu \( k = 2 \): \( x = \frac{-4 - 3}{-1} = 7 \).
- Nếu \( k = 3 \): \( x = \frac{-6 - 3}{-2} = \frac{9}{2} \) (không phải nguyên).
- Nếu \( k = -2 \): \( x = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3} \) (không phải nguyên).
- Thử tiếp với các giá trị âm hoặc lớn hơn \( 3 \) cũng sẽ cho các giá trị tương tự.

Sau khi thử tất cả các \( k \), ta tìm thấy rằng các giá trị nguyên của \( x \) có thể là:

\[
x = -3, 7
\]

Kết quả cuối cùng là \( x = -3 \) và \( x = 7 \) là các giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu.