Để tính các độ dài trong tam giác vuông ABC với \( AB = 21 \, cm \) và \( C = 40^\circ \), ta sẽ sử dụng công thức liên quan đến lượng giác.

### a) Tính AC

Trong tam giác vuông tại A, ta có:

\[
\sin(C) = \frac{AC}{AB}
\]

Thay số vào, ta có:

\[
\sin(40^\circ) = \frac{AC}{21}
\]

Suy ra:

\[
AC = 21 \cdot \sin(40^\circ) \approx 21 \cdot 0.6428 \approx 13.49 \, cm
\]

### b) Tính BC

Tương tự, ta sử dụng định nghĩa của cosin:

\[
\cos(C) = \frac{BC}{AB}
\]

Thay số vào, ta có:

\[
\cos(40^\circ) = \frac{BC}{21}
\]

Suy ra:

\[
BC = 21 \cdot \cos(40^\circ) \approx 21 \cdot 0.7660 \approx 16.06 \, cm
\]

### c) Tính độ dài BD

Trong tam giác vuông, chiều cao từ B đến cạnh AC là BD. Ta có thể sử dụng diện tích của tam giác để tính BD.

Diện tích tam giác ABC có thể tính bằng:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC
\]

Và cũng có thể tính bằng:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC
\]

Từ đó, ta có:

\[
\frac{1}{2} \cdot 21 \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC
\]

Giả sử AC ≠ 0 để rút gọn, ta có:

\[
21 = BD \implies BD = 21 \, cm
\]

### Kết quả:

- a) \( AC \approx 13.49 \, cm \)
- b) \( BC \approx 16.06 \, cm \)
- c) \( BD = 21 \, cm \)