Để đơn giản hóa biểu thức

\[
\frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)},
\]

ta sẽ sử dụng một số công thức lượng giác.

1. **Sử dụng công thức tổng và hiệu cho sin:**

\[
\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin \alpha \cos \beta.
\]

2. **Sử dụng công thức tổng và hiệu cho cos:**

\[
\cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2 \sin \alpha \sin \beta.
\]

Thay hai biểu thức trên vào trong biểu thức ban đầu, ta có:

\[
\frac{2 \sin \alpha \cos \beta}{-2 \sin \alpha \sin \beta} = -\frac{\cos \beta}{\sin \beta} = -\cot \beta.
\]

Như vậy, biểu thức đơn giản hóa là:

\[
-\cot \beta.
\]