Rút gọn biểu thức P

Để rút gọn biểu thức \( P = \frac{2\left(\frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1} + 1\right)}{\sqrt{x}-1} - \frac{x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1} \), chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

1. **Xét phần tử thứ nhất**:
\[
\frac{1}{\sqrt{x}+1} - \frac{1}{\sqrt{x}-1}
\]

Chúng ta sẽ tìm mẫu số chung là \((\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)\):
\[
= \frac{(\sqrt{x}-1) - (\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{\sqrt{x}-1 - \sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = \frac{-2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức:
\[
P = \frac{2\left(\frac{-2}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} + 1\right)}{\sqrt{x}-1}
\]

2. **Tính \( 1 = \frac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} \)**:
\[
= \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)} = 1
\]

Khi đó, ta có:
\[
= \frac{2\left(\frac{-2 + (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\right)}{\sqrt{x}-1}
\]
\[
= \frac{2\left(\frac{-2 + x -1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\right)}{\sqrt{x}-1}
= \frac{2\left(\frac{x-3}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\right)}{\sqrt{x}-1}
\]

3. **Tiếp tục với phần tử thứ hai**:
\[
- \frac{x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}
\]

biểu thức trở thành:
\[
= \frac{2(x-3)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)} - \frac{x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}
\]

4. **Chia công khai**:
Kết hợp lại sẽ cho kết quả rút gọn đơn giản, bạn sẽ có:
\[
P = \frac{2(x-3)-(x+\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}-1)}
\]

Cuối cùng, công thức cần kiểm tra để xác nhận rằng các phần tử không thể rút gọn hơn nữa và biểu thức có thể được biểu diễn theo một kiểu khác càng đơn giản càng tốt.

Nếu cần, bạn có thể tính giá cho một giá trị cụ thể \(x\) để kiểm tra độ chính xác \(P\).