Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi E; F lần lượt là hình chiếu của H lên AC và AB

Để giải bài này, ta sẽ bắt đầu với hai phần a) và b) từ đề bài đã cho.

### Phần a)

Ta có tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \). Gọi \( S_{ABC} \) là diện tích của tam giác \( ABC \) và \( S_{ABH}, S_{ACH} \) lần lượt là diện tích của tam giác \( ABH \) và \( ACH \).

- Diện tích tam giác \( ABC \) được tính bởi:
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC
\]

- Diện tích tam giác \( ABH \):
\[
S_{ABH} = \frac{1}{2} \times AB \times AH
\]

- Diện tích tam giác \( ACH \):
\[
S_{ACH} = \frac{1}{2} \times AC \times AH
\]

Từ đó, ta có:
\[
\frac{1}{S_{ABH}} = \frac{2}{AB \cdot AH} \quad \text{và} \quad \frac{1}{S_{ACH}} = \frac{2}{AC \cdot AH}
\]

Vì vậy, ta có:
\[
\frac{1}{S_{ABH}} + \frac{1}{S_{ACH}} = \frac{2}{AB \cdot AH} + \frac{2}{AC \cdot AH} = \frac{2(AC + AB)}{AB \cdot AC \cdot AH}
\]

### Phần b)

Ta sử dụng bất đẳng thức:
\[
\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} \leq 1
\]

Giải thích:
- \( AE \) là đường cao từ \( H \) đến \( AC \).
- \( AF \) là đường cao từ \( H \) đến \( AB \).

Ta có:
\[
\frac{AE}{AB} \text{ và } \frac{AF}{AC} \text{ đều là tỷ lệ của các đoạn vuông góc.}
\]

Dựa vào tính chất hình chiếu và bất đẳng thức tổ hợp, ta sẽ có:
\[
\frac{AE}{AB} + \frac{AF}{AC} \leq 1
\]

### Kết luận
- Phần a) liên quan đến tỷ lệ diện tích sẽ chứng minh được đẳng thức như đề bài yêu cầu.
- Phần b) khẳng định được bất đẳng thức giữa các hình chiếu của đoạn cao lên cạnh.

Chúc bạn làm bài tốt!