Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng thông tin được cho và áp dụng một số định lý hình học.

### Bước 1: Đặt biến cho các cạnh

Gọi:
- \( AC = x \) (cm)
- \( AB = 2x \) (cm) (vì AB gấp đôi AC)

### Bước 2: Tính chiều cao và độ dài cạnh BC

Hình chiếu của cạnh \( AB \) trên cạnh \( BC \) có độ dài là \( 4 \) cm, điều này có nghĩa là chiều dài đoạn thẳng mà ta cần tính là:

\[
AB \cdot \cos(60^\circ) = 4
\]

Biết rằng \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \), ta có:

\[
(2x) \cdot \frac{1}{2} = 4 \implies x = 4
\]

### Bước 3: Tính chiều dài các cạnh

Khi \( x = 4 \):
- \( AC = x = 4 \) cm
- \( AB = 2x = 8 \) cm

### Bước 4: Tính độ dài cạnh BC

Bây giờ, ta có thể tính độ dài của cạnh \( BC \) bằng định lý cosine. Trong tam giác \( ABC \), với góc \( ABC = 60^\circ \):

Áp dụng định lý cosine:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(ABC)
\]

Chúng ta thay các giá trị vào:

\[
BC^2 = (8)^2 + (4)^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ)
\]
\[
= 64 + 16 - 2 \cdot 8 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
= 64 + 16 - 32
\]
\[
= 48
\]
\[
BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ cm}
\]

### Bước 5: Tính góc \( ACB \)

Để tính góc \( ACB \), ta sẽ áp dụng lại định lý cosine:

\[
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(ACB)
\]

Ta có:

\[
BC^2 = 48 \quad \text{và} \quad AB = 8, AC = 4
\]

Thay vào định lý cosine:

\[
(4)^2 = (8)^2 + (4\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 8 \cdot 4\sqrt{3} \cdot \cos(ACB)
\]
\[
16 = 64 + 48 - 64\sqrt{3} \cdot \cos(ACB)
\]
\[
16 = 112 - 64\sqrt{3} \cdot \cos(ACB)
\]
\[
64\sqrt{3} \cdot \cos(ACB) = 112 - 16
\]
\[
64\sqrt{3} \cdot \cos(ACB) = 96
\]
\[
\cos(ACB) = \frac{96}{64\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Do đó, góc \( ACB = 30^\circ \).

### Kết luận

- Độ dài cạnh \( AC = 4 \) cm
- Độ dài cạnh \( AB = 8 \) cm
- Góc \( ACB = 30^\circ \)

### Hình vẽ

Dưới đây là cách bạn có thể vẽ hình tam giác \( ABC \):

1. Vẽ cạnh \( AB = 8 \) cm.
2. Từ điểm \( B \), bạn tạo góc \( ABC = 60^\circ \).
3. Vẽ cạnh \( AC = 4 \) cm từ điểm \( A \).
4. Vẽ cạnh \( BC \) giữa các điểm \( B \) và \( C \).

Hình tam giác ABC sẽ trông giống như một tam giác có một góc vuông và có các cạnh như đã tính toán.