Tìm m để 2x^2 - 3(m + 1)x + m^2 - m - 2 < 0 

Để tìm giá trị của \( m \) sao cho phương trình bậc hai

\[
2x^2 - 3(m+1)x + (m^2 - m - 2) < 0
\]

có nghiệm, ta cần phân tích điều kiện cho bất phương trình bậc hai này. Phương trình bậc hai có hình dạng tổng quát là

\[
ax^2 + bx + c < 0,
\]

với \( a = 2 \), \( b = -3(m + 1) \) và \( c = m^2 - m - 2 \).

### Điều kiện có nghiệm
Để bất phương trình này có nghiệm, giá trị của \( a \) phải dương (trong trường hợp này là \( 2 > 0 \)) và phương trình bậc hai phải có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi:

\[
D = b^2 - 4ac > 0.
\]

Tính \( D \):

\[
b^2 = (-3(m + 1))^2 = 9(m + 1)^2,
\]
\[
4ac = 4 \cdot 2 \cdot (m^2 - m - 2) = 8(m^2 - m - 2).
\]

Do đó:

\[
D = 9(m + 1)^2 - 8(m^2 - m - 2) > 0.
\]

### Tính \( D \)
Phát triển \( D \):

\[
D = 9(m^2 + 2m + 1) - 8(m^2 - m - 2),
\]
\[
= 9m^2 + 18m + 9 - 8m^2 + 8m + 16,
\]
\[
= m^2 + 26m + 25.
\]

### Giải bất phương trình
Giải bất phương trình:

\[
m^2 + 26m + 25 > 0.
\]

Tính nghiệm của phương trình bậc hai \( m^2 + 26m + 25 = 0 \):

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
D = 26^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 676 - 100 = 576 > 0.
\]

Nghiệm của phương trình:

\[
m = \frac{-26 \pm \sqrt{576}}{2} = \frac{-26 \pm 24}{2}.
\]

Từ đó, ta có các nghiệm:

\[
m_1 = \frac{-2}{2} = -1, \quad m_2 = \frac{-50}{2} = -25.
\]

Vậy ta có:

\[
m^2 + 26m + 25 > 0 \quad \Rightarrow \quad m < -25 \quad \text{hoặc} \quad m > -1.
\]

### Kết luận
Các giá trị của \( m \) sao cho bất phương trình \( 2x^2 - 3(m+1)x + (m^2 - m - 2) < 0 \) có nghiệm là:

\[
m < -25 \quad \text{hoặc} \quad m > -1.
\]