Để chứng minh rằng \( 4p + 1 \) là hợp số, ta bắt đầu với giả thuyết rằng \( p \) và \( 2p + 1 \) đều là số nguyên tố lớn hơn 3.

1. **Xét số \( p \):** Vì \( p \) lớn hơn 3, \( p \) là số nguyên tố nên \( p \) có thể là số lẻ (bởi mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ).

2. **Kiểm tra \( 2p + 1 \):** Chúng ta cũng có \( 2p + 1 \) là số nguyên tố lớn hơn 3. Khi \( p \) là số lẻ, \( 2p \) cũng là số chẵn, do đó \( 2p + 1 \) là số lẻ. Điều này là phù hợp vì số nguyên tố lớn hơn 2 đều là số lẻ.

3. **Xét số \( 4p + 1 \):** Ta có:

\[
4p + 1 = 2(2p) + 1
\]

Xét tính chất modulo 5 của \( p \):
- Nếu \( p \equiv 1 \mod 5 \): \( 4p + 1 \equiv 4 + 1 \equiv 0 \mod 5 \) (hợp số).
- Nếu \( p \equiv 2 \mod 5 \): \( 4p + 1 \equiv 3 \mod 5 \) (không phải hợp số).
- Nếu \( p \equiv 3 \mod 5 \): \( 4p + 1 \equiv 2 \mod 5 \) (không phải hợp số).
- Nếu \( p \equiv 4 \mod 5 \): \( 4p + 1 \equiv 1 \mod 5 \) (không phải hợp số).

4. **Kết luận từ trường hợp modulo:** Tuy nhiên, ở trường hợp \( p \equiv 1 \mod 5 \), \( 4p + 1 \equiv 0 \mod 5 \) cho thấy \( 4p + 1 \) có thể chia hết cho 5, tức là hợp số.

Vì vậy, xét tất cả các trường hợp, ta có thể kết luận \( 4p + 1 \) là hợp số.

Kết luận: \( 4p + 1 \) là hợp số khi \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3.