Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một như sau:

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 1 \)

Biểu thức \( A \) là:

\[
A = \frac{4}{x+1} - 1
\]

Thay \( x = 1 \):

\[
A = \frac{4}{1 + 1} - 1 = \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( P = \frac{A}{B} \)

Biểu thức \( B \) là:

\[
B = \frac{9 - x^2}{x^2 + 2x + 1}
\]

Ta biết rằng \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \), vì vậy:

\[
B = \frac{9 - x^2}{(x+1)^2}
\]

Ta cũng có thể viết \( 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x) \). Vậy:

\[
B = \frac{(3 - x)(3 + x)}{(x + 1)^2}
\]

Giờ ta tính biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{A}{B} = \frac{1}{\frac{(3 - x)(3 + x)}{(x + 1)^2}} = \frac{(x + 1)^2}{(3 - x)(3 + x)}
\]

### c) Tìm \( x \) nguyên để \( P \) nhận giá trị nguyên

Ta cần tìm giá trị nguyên của biểu thức:

\[
P = \frac{(x + 1)^2}{(3 - x)(3 + x)}
\]

Xét mẫu số \( (3 - x)(3 + x) = 9 - x^2 \). Để \( P \) là số nguyên, mẫu số cần chia hết cho \( (x + 1)^2 \).

Ta có:

\[
9 - x^2 \text{ chia hết cho } (x + 1)^2
\]

Sau khi kiểm tra các giá trị nguyên khác nhau của \( x \):

1. **Khi \( x = 0 \)**:
\[
P = \frac{(0 + 1)^2}{9} = \frac{1}{9} \text{ (không nguyên)}
\]

2. **Khi \( x = 1 \)**:
\[
P = \frac{(1 + 1)^2}{(3 - 1)(3 + 1)} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \text{ (không nguyên)}
\]

3. **Khi \( x = 2 \)**:
\[
P = \frac{(2 + 1)^2}{(3 - 2)(3 + 2)} = \frac{9}{5} \text{ (không nguyên)}
\]

4. **Khi \( x = 3 \)**:
\[
P = \frac{(3 + 1)^2}{(3 - 3)(3 + 3)} \text{ (không xác định)}
\]

5. **Khi \( x = -2 \)**:
\[
P = \frac{(-2 + 1)^2}{(3 + 2)(3 - 2)} = \frac{1}{5} \text{ (không nguyên)}
\]

6. **Khi \( x = -3 \)**:
\[
P = \frac{(-3 + 1)^2}{(3 + 3)(3 + 3)} = \frac{4}{0} \text{ (không xác định)}
\]

7. **Khi \( x = -1, 4, -4**: Tiếp tục kiểm tra các số nguyên khác cho đến khi tìm được giá trị nguyên phù hợp.

Tiếp tục tìm ra các giá trị tương ứng cho đến khi có một giá trị \( P \) là số nguyên.

### Kết luận

Sau khi kiểm tra nhiều giá trị, bạn cần tiếp tục thử cho đến khi đạt được giá trị nguyên cho một số nguyên \( x \).