Chứng minh: MNPQ là hình bình hành; MNPQ là hình thoi 

Để chứng minh MNPQ là hình bình hành và sau đó là hình thoi, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và hình thoi. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết cùng với hình minh họa.

### Hình minh họa
```
A---------------B
| |
| |
| |
D---------------C
```
- Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.
- Đường thẳng m cắt AB tại M, cắt CD tại P.
- Đường thẳng n vuông góc với m cắt BC tại N, cắt DA tại Q.

### a. Chứng minh: MNPQ là hình bình hành

**Chứng minh:**
1. **Xét các đoạn thẳng:** Vì M nằm trên AB và P nằm trên CD, chúng ta có các đoạn:
- AM = MB (do O là trung điểm của AB)
- CP = PD (do O là trung điểm của CD)

2. **Tính chất hình bình hành:** Ta biết rằng trong hình bình hành, các cặp cạnh đối diện bằng nhau. Cần chứng minh MN = PQ và NP = MQ:

- **Cạnh MN và PQ:**
- Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O, nên O là trung điểm của cả hai đoạn AC và BD.
- Vì MN và PQ đều là các đoạn thẳng trong cùng một hình thông qua O, việc O là trung điểm dẫn đến các đoạn này song song với nhau và có độ dài bằng nhau, suy ra MN = PQ.

- **Cạnh NP và MQ:**
- Tương tự, với n vuông góc với m, ta có:
- Theo tính chất của hình thoi (điểm chút trên cạnh), các đoạn NP và MQ sẽ có độ dài bằng nhau.

=> Từ các tính chất trên, ta có:
- MN // PQ và MN = PQ
- NP // MQ và NP = MQ

=> Kết luận: MNPQ là hình bình hành.

### b. Chứng minh: MNPQ là hình thoi

**Chứng minh:**
1. **Tính chất của đường thẳng vuông góc:** Ta đã xác định rằng n vuông góc với m.
2. **Đường thẳng m và n:**
- Mỗi cặp cạnh MNPQ đều vuông góc với nhau nhờ vào tính vuông góc giữa m và n:
- MN // PQ và NP // MQ đều có các góc đối diện bằng nhau (=90 độ).

3. **Cạnh bằng nhau:** Từ tính chất của hai đường chéo cắt nhau và điểm O là trung điểm, ta thấy:
- MN = NP = MQ = PQ

do tất cả các cạnh đều bằng nhau (cạnh của hình thoi).

=> Kết luận: MNPQ là hình thoi vì nó có các cạnh đối diện song song, có độ dài bằng nhau và chúng tạo thành các góc vuông với nhau.

### Hình vẽ
Mặc dù không thể vẽ hình trực tiếp trong văn bản này, bạn có thể hình dung hoặc vẽ hình này trên giấy dựa vào mô tả trên. Bắt đầu bằng hình bình hành ABCD, sau đó đánh dấu các điểm M, N, P, Q theo các cách mô tả trên giúp chứng minh.

Hy vọng hướng dẫn trên sẽ giúp bạn hoàn thành bài tập.