Để chứng minh rằng bốn điểm \( B, M, P, C \) nằm trên một đường tròn, chúng ta có thể sử dụng định lý tổng góc trong tam giác và các tính chất của tam giác đều.

Gọi \( A \), \( B \), \( C \) là ba đỉnh của tam giác đều, với \( M \), \( N \), \( P \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AB \), \( BC \), \( CA \).

1. **Lập tọa độ**:
Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( (0, a) \), điểm \( B \) có tọa độ \( (-a, 0) \), và điểm \( C \) có tọa độ \( (a, 0) \).

2. **Tìm tọa độ của các trung điểm**:
- Tọa độ của trung điểm \( M \) của cạnh \( AB \) là:
\[
M = \left( \frac{0 + (-a)}{2}, \frac{a + 0}{2} \right) = \left( -\frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)
\]
- Tọa độ của trung điểm \( P \) của cạnh \( CA \) là:
\[
P = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{a + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right)
\]

3. **Tính khoảng cách**:
Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( B, M, P, C \) cùng nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh rằng góc \( BMP \) và góc \( BCP \) có cùng số đo. Theo định lý về đường tròn ngoại tiếp, nếu hai góc này cùng số đo thì bốn điểm này sẽ nằm trên một đường tròn.

- Tính góc \( BMP \):
\[
BM = \sqrt{\left(-\frac{a}{2} - (-a)\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{a}{\sqrt{2}}
\]
(Tương tự cho \( PM \))

- Tính góc \( BCP \):
Tương tự như vậy cho cạnh \( BC \) và \( CP \).

4. **So sánh các góc**:
Bài toán này có thể được làm đơn giản hơn bằng cách nhận ra rằng các tam giác \( BMP \) và \( BCP \) đều là tam giác vuông.

Do đó, chúng ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( B, M, P, C \) thuộc cùng một đường tròn, từ định lý:
\[
\angle BMP + \angle BCP = 180^\circ
\]

Kết luận: Các điểm \( B, M, P, C \) nằm trên cùng một đường tròn.