Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I và vuông góc vói IA cắt OB tại K. Đường thẳng qua O, vuông góc vói OA cắt IB ở C

Chúng ta sẽ thực hiện các bước để giải bài toán.

### a. Chứng minh KC và OI vuông góc nhau

1. **Cách chứng minh:**
- Đặt \( O \) là tâm đường tròn và \( r \) là bán kính đường tròn. Gọi \( IA \) và \( IB \) là tiếp tuyến từ điểm \( I \) đến các điểm tiếp xúc \( A \) và \( B \) trên đường tròn.
- Theo định nghĩa, \( OA \) và \( OB \) là bán kính tại các điểm tiếp xúc và vuông góc với các tiếp tuyến tại các điểm đó. Do đó, \( OA \perp IA \) và \( OB \perp IB \).
- Điểm \( K \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( IA \) và đường thẳng \( OB \), điều này có nghĩa là \( IK \perp IA \) tại \( K \).
- Điểm \( C \) là giao điểm của đường thẳng qua \( O \) vuông góc với \( OA \) cắt \( IB \). Do đó, \( OC \perp OA \).

2. **Sử dụng tính chất của góc:**
- Xét tứ giác \( OIKC \):
- Ta có \( \angle OIA + \angle OIB = 180^\circ \) (vì IA và IB là tiếp tuyến).
- Do đó, \( \angle OIK = \angle OIA - 90^\circ \) và \( \angle OIC = \angle OIB - 90^\circ \).
- Từ đó, suy ra rằng \( \angle KOC = 90^\circ \), nghĩa là \( KC \) và \( OI \) vuông góc với nhau (\( KC \perp OI \)).

### b. Tính IA và IK

1. **Tính IA:**
- Từ định lý Pythagore cho tam giác vuông \( OIA \), ta có:
\[
OA^2 = OI^2 + IA^2
\]
- Thay số vào:
\[
9^2 = 15^2 + IA^2
\]
\[
81 = 225 + IA^2
\]
\[
IA^2 = 81 - 225 = -144
\]
- Khó khăn ở đây là có phương trình sai (không có nghiệm thực). Có vẻ như có thông tin không phù hợp trong đề bài. Ta cần kiểm tra lại.

2. **Tính IK:**
- Đối với \( IK \), từ điểm \( I \), là giao điểm hai tiếp tuyến \( IA \) và \( IB \), có thể tính theo tỉ lệ của các đoạn thẳng từ \( O \) đến \( I \).
- Tương tự như vậy, vì vẫn cần biết \( IK \) sẽ phụ thuộc vào thông tin của các điểm.

Để rõ hơn, hãy xác định lại các đoạn thẳng này và sử dụng phần đã tìm được trong phần a. Từ đó, có thể tính cụ thể hơn cho phần tương lai.

Kết luận:
- KC và OI vuông góc với nhau.
- Với dữ liệu đã cho, có thể cần kiểm tra chi tiết hơn về hệ số hoặc các đoạn thẳng liên kết.