Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Chứng minh tứ giác ADCB là hình thoi.

1. **Giả thiết**: Tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nghĩa là \( AB = AC \). Điểm \( I \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AI = IC \).

2. **Tại điểm \( D \)**, ta có \( I \) là trung điểm của \( BD \). Điều này có nghĩa là \( BI = ID \).

3. **Các cặp cạnh**:
- \( AB = AC \) (giả thiết tam giác cân)
- \( AI = IC \) (I là trung điểm của AC)
- \( BI = ID \) (I là trung điểm của BD)

4. **Tứ giác ADCB**:
- Xét các cạnh: \( AD = DC \) và \( AB = AC \).
- Hơn nữa, các cặp góc đối diện trong tứ giác \( ADCB \) cũng bằng nhau vì tam giác \( ABC \) đồng dạng.

Từ đó, ta có thể kết luận rằng tứ giác \( ADCB \) là hình thoi.

### b. Đường thẳng đi qua điểm \( D \) và song song với \( AC \) cắt \( BC \) tại điểm \( E \). Chứng minh \( AE = BD \).

1. **Giả thiết**: Đường thẳng \( DE \) song song với \( AC \) và cắt \( BC \) tại \( E \).

2. **Góc**:
- Vì \( DE \parallel AC \), nên \( \angle ADE = \angle ACB \) và \( \angle AED = \angle ABC \) (góc đồng vị).

3. **Tam giác tương ứng**: Do đó, tam giác \( ADE \sim ABC \).

4. **Tỉ lệ**: Từ tỉ lệ của các cạnh:
- \(\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}\)
- Do \( AD = DC \) (tứ giác hình thoi), dẫn đến \( AE = BD \).

Vậy ta có thể chứng minh được \( AE = BD \).

### Kết luận
- Ta đã chứng minh tứ giác \( ADCB \) là hình thoi và chứng minh được \( AE = BD \) như yêu cầu.