Tìm dư khi chia đa thức: x^54 +x^45 +x^36 +... + X^9 +1 chia cho x^2 -1

Để tìm dư khi chia đa thức \( P(x) = x^{54} + x^{45} + x^{36} + \ldots + x^9 + 1 \) cho \( x^2 - 1 \), ta sẽ sử dụng định lý chia đa thức. Theo định lý này, nếu \( P(x) \) được chia cho \( x^2 - 1 \), thì phần dư \( R(x) \) sẽ là một đa thức bậc tối đa là 1, dạng \( R(x) = ax + b \).

Ta cần tìm các giá trị của \( a \) và \( b \) bằng cách sử dụng 2 số nghiệm của \( x^2 - 1 \), đó là \( x = 1 \) và \( x = -1 \).

1. **Tính \( P(1) \):**
\[
P(1) = 1^{54} + 1^{45} + 1^{36} + \ldots + 1^9 + 1 = 1 + 1 + 1 + \ldots + 1 \text{ (đếm số hạng)}
\]
Trong dãy số mũ này, bậc cao nhất là 54 và bậc thấp nhất là 9. Bậc này cách nhau 9, tức là có:
\[
\frac{54 - 9}{9} + 1 = 6 + 1 = 7 \text{ hạng}
\]
Vậy nên:
\[
P(1) = 7
\]

2. **Tính \( P(-1) \):**
\[
P(-1) = (-1)^{54} + (-1)^{45} + (-1)^{36} + \ldots + (-1)^{9} + 1
\]
Tính từng hạng:
- Các số mũ chẵn cho \( x^{54}, x^{36} \): \( 1 \)
- Các số mũ lẻ cho \( x^{45}, x^{27}, x^{9} \): \( -1 \)

Chúng ta đếm số hạng siêu chẵn và siêu lẻ:
- Hạng chẵn: \( (54, 36, 18) \) tổng cộng 4 hạng \( \Rightarrow 4 \times 1 = 4 \)
- Hạng lẻ: \( (45, 27, 9) \) tổng cộng 3 hạng \( \Rightarrow 3 \times -1 = -3 \)

Vậy:
\[
P(-1) = 4 - 3 + 1 = 2
\]

3. **Giải hệ phương trình:**
Từ \( P(1) \) và \( P(-1) \), ta có hệ phương trình:
\[
a + b = 7 \quad (1)
\]
\[
-a + b = 2 \quad (2)
\]

Cộng hai phương trình:
\[
2b = 9 \Rightarrow b = \frac{9}{2}
\]
Thay \( b \) vào phương trình (1):
\[
a + \frac{9}{2} = 7 \Rightarrow a = 7 - \frac{9}{2} = \frac{14}{2} - \frac{9}{2} = \frac{5}{2}
\]

4. **Kết luận:**
Phần dư \( R(x) \) là:
\[
R(x) = \frac{5}{2}x + \frac{9}{2}
\]

Vậy phần dư khi chia \( P(x) \) cho \( x^2 - 1 \) là:
\[
\frac{5}{2}x + \frac{9}{2}.
\]