Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích phương trình \(2x^2 - 2mx + m - 1 = 0\).

### a) Chứng minh rằng (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Phương trình bậc hai có dạng chung:

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

Với \( a = 2 \), \( b = -2m \), \( c = m - 1 \).

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần là:

\[ \Delta = b^2 - 4ac > 0 \]

Tính \(\Delta\):

\[
\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m - 1) = 4m^2 - 8(m - 1)
\]
\[
= 4m^2 - 8m + 8
\]

Rút gọn:

\[
\Delta = 4(m^2 - 2m + 2)
\]

Ta cần chứng minh rằng \(m^2 - 2m + 2 > 0\) với mọi \(m\).

Tính nghiệm của \(m^2 - 2m + 2 = 0\):

\[
\Delta' = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
\]

Vì \(\Delta' < 0\), phương trình này không có nghiệm thực, do đó:

\[
m^2 - 2m + 2 > 0
\]

Vậy:

\(\Delta > 0\) với mọi \(m\), suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\).

### b) Xác định m để (1) có hai nghiệm dương.

Để phương trình có hai nghiệm dương, ta cần hai điều kiện:

1. \(\Delta > 0\) (điều này đã chứng minh ở phần a).
2. Nghiệm lớn hơn 0.

Tính tổng và tích của các nghiệm \(x_1\) và \(x_2\):

- Tổng nghiệm: \(S = \frac{-b}{a} = \frac{2m}{2} = m\)
- Tích nghiệm: \(P = \frac{c}{a} = \frac{m - 1}{2}\)

Để cả hai nghiệm \(x_1, x_2\) dương, ta cần:

1. \(S > 0 \Rightarrow m > 0\)
2. \(P > 0 \Rightarrow m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1\)

Vậy điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm dương là:

\[
m > 1
\]

Tóm lại, phương trình (1) sẽ có hai nghiệm dương khi \(m > 1\).